(13) est bon de connaître, aussi les lois suivant lesquelles le mouvement finit dans la masse fluide, ou les valeurs des vîtesses qui ont lieu au bout d'un temps très-considérable ; pour cela nous allons chercher à développer la fonction suivant les puissances négatives de
En faisant
la valeur de
du no 10 devient
![{\displaystyle y={\frac {t{\sqrt {g}}}{4k}}.\int {\frac {e^{-{\frac {gt^{2}x}{4k}}}du}{\sqrt {1-u}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b25aea2ced8bf078cf0fe4ffcd75a5ce92a5594)
l'intégrale doit encore être prise depuis
jusqu'à
mais nous la partagerons en deux portions : la première depuis
jusqu'à
et la seconde depuis
jusqu'à
la quantité
étant une indéterminée dont nous nous réservons de disposer convenablement.
Par le procédé de l'intégration par parties, on réduit la
première portion en cette double série :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right)\\-&{\frac {1}{t{\sqrt {ga}}}}e^{-{\frac {gt^{2}(x-a)}{4k}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}a}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}a}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}a}}\right)^{3}+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3fab3c035f1ec507aabde5d139ee9d12a58c86)
La secondę portion sera exprimée par l'intégrale
![{\displaystyle {\frac {t{\sqrt {g}}}{4k}}e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}\int e^{-{\frac {gt^{2}a}{4k}}}{\frac {da}{\sqrt {a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3546017dbf22b6ce59b540d80b9dfa5f1431f7fe)