![{\displaystyle \int e^{qv^{2}}dv=1+{\frac {q}{3}}+{\frac {q^{2}}{2.5}}+{\frac {q^{3}}{2.3.7}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.9}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21859e5b9bca14ae5b9b3efd6090196cddba1349)
![{\displaystyle +{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n+1}}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13306dbe9c2fe8e1d52d977657e502bd2ce06cce)
par conséquent
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}e^{-q}\left(1+{\frac {q}{3}}+{\frac {q^{2}}{2.5}}+{\frac {q^{3}}{2.3.7}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.9}}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e372d9bf396f650e03ec876f4e637d641695e7)
![{\displaystyle \left.+{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n+1}}+{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8d2f79017f353061e170e268797427a2e66400)
d’où l’on déduira facilement
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z^{2}}}e^{-q}\left(1-{\frac {q}{3}}-{\frac {q^{2}}{2.3.5}}-{\frac {q^{3}}{2.3.5.7}}-{\frac {q^{4}}{2.3.4.7.9}}-\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0488a12d3b9502412cb00229a91baeb17203fd)
![{\displaystyle \left.-{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n-1.2n+1}}-{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00dd7eba67f44b7e5f8721cc837e7d1c9798ef90)
égalant à zéro la différentielle de cette quantité, prise par rapport à
et supprimant les facteurs
et
communs à tous les termes, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{3}}-q+{\frac {q^{2}}{2.3}}&+{\frac {q^{3}}{2.3.3.5}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.5.7}}+\ldots \\&+{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n-3.2n-1}}+{\text{etc}}.=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8b1476238abb789fefa0a8cc0cf3002f055a56)
Or, le second terme de cette équation étant seul négatif, il est évident qu’elle ne peut avoir que deux racines réelles et positives. La plus petite est comprise entre zéro et l’unité ; et par la méthode ordinaire, on trouve, pour sa valeur approchée,
d’où il résulte, pour le premier maximum de vîtesse,
![{\displaystyle \mathrm {V} =-(0{,}2328){\frac {\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{z{\sqrt {z}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2a4ca10e57dda2da0d6f3d2bef56c73f87aa01)