![{\displaystyle s=-\int {\frac {d\varphi }{dz}}dt=-\int {\frac {d\varphi }{dz}}.{\sqrt {\frac {z}{gq}}}.dq\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e5d6246241853f3683dbcda52cd71802709bdf)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
Mais pour obtenir commodément la valeur numérique de
il faut employer un développement de
qui ne renferme pas l’exponentielle
contenu dans le précédent.
Reprenons donc la valeur de
sous forme finie, que nous pouvons écrire ainsi :
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}\int e^{-q\left(1-v^{2}\right)}dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81b573527f66797c95d9a56a950a3c158752df7)
développant l’exponentielle, et intégrant ensuite depuis
jusqu’à
comme dans le no 11, il vient
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}\left(1-{\frac {2q}{1.3}}+{\frac {(2q)^{2}}{1.3.5}}-{\frac {(2q)^{3}}{1.3.5.7}}+{\frac {(2q)^{4}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f98ed35845a12a88f075de34967256a666d6840)
donc, à cause de
on aura
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z^{2}}}\left(1-{\frac {2(2q)}{1.3}}+{\frac {3(2q)^{2}}{1.3.5}}-{\frac {4(2q)^{3}}{1.3.5.7}}+{\frac {5(2q)^{4}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf3f3bb0f6ee6b4d094acb84f5b1cd6b5275356)
et à cause de
on en conclura
![{\displaystyle s={\frac {\mathrm {A} }{\pi \,z}}\left(2q-{\frac {(2q)^{2}}{1.3}}+{\frac {(2q)^{3}}{1.3.5}}-{\frac {(2q)^{4}}{1.3.5.7}}+{\frac {(2q)^{5}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)+const.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef73ebd9af3ea30726ea7861502b11bde9cc9c1f)
La constante arbitraire est nulle, puisque l’intégrale doit