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dépense pour l’unité de temps que l’on aura adoptée dans le calcul

Le prix du mètre cube d’eau dépensée étant donc

$=p$

Le prix de l’unité de temps

$=p'$

Le volume d’eau dépensé pour le passage d’un bateau ou d’un convoi par une écluse simple ou multiple

$=\mathrm {V}$

La durée du passage

$=\theta$

Enfin la masse transportée

$=\mathrm {G}$

On aura pour le rapport de l’effet utile à la dépense en argent

${\frac {\mathrm {G} {\sqrt {a^{2}+l^{2}}}}{\mathrm {V} p+\theta p'}},$

qu’il conviendra toujours de rendre le plus grand possible en faisant $\mathrm {V} p+\theta p'=minimum,$ ou $d(\mathrm {V} p+\theta p')=0.$

(35) Proposons-nous pour premier exemple, de déterminer le nombre d’écluses simples et de chute égale qui doivent racheter la pente d’un canal de navigation, entre deux points donnés de manière que la dépense en argent de l’eau consommée et du temps employé, soit la moindre possible : appliquons d’abord cette recherche à un bateau montant

On a ici $\mathrm {G=S} t,$ et l’effet utile est exprimé ici par $\mathrm {S} t_{_{\scriptscriptstyle {I}}}{\sqrt {a^{2}+l^{2}}}.$

Mais pour ce cas particulier nous avons aussi

1^o         $\mathrm {V} p=p\mathrm {S} \left(x+t_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\right)=\mathrm {S} \left({\frac {a}{n}}+t_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\right)p$

2^o         $\theta p'=\left({\frac {l}{i}}+{\frac {2\mathrm {S} {\sqrt {an}}}{\mathrm {O} {\sqrt {2g}}}}\right)p'.$

Le rapport de l’effet utile à la cause qui le produit, est donc :

${\frac {\mathrm {S} t_{_{\scriptscriptstyle {I}}}{\sqrt {a^{2}+l^{2}}}}{\mathrm {S} \left({\frac {a}{n}}+t_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\right)p+\left({\frac {l}{i}}+{\frac {2\mathrm {S} {\sqrt {an}}}{\mathrm {O} {\sqrt {2g}}}}\right)p'}}.$