par sa méthode, on établit entre deux fonctions de première espèce, un rapport constant ou indépendant des amplitudes. Leurs modules se déduisent très - simplement l’un de l’autre ; et en répétant indéfiniment la même opération, on obtient une suite de fonctions équivalentes dont le rapport change continuellement d’un terme à l’autre, et l’on forme en même temps la série de leurs modules, ascendante dans un sens et descendante dans le sens opposé. Cette série est ce qu’on appelle une échelle de modules : celle qui se déduit de la méthode de Lagrange était la seule que l’on connût jusqu’à ces derniers temps.
Tel était l’état de cette partie de la science en 1786, lorsque M. Legendre donna un premier mémoire sur la comparaison des arcs d’ellipse. Depuis cette époque, jusqu’à la publication de son Traité des fonctions elliptiques, en 1825, M. Legendre est à peu près le seul géomètre qui se soit occupé de cette théorie. Après en avoir perfectionné successivement toutes les parties, notre illustre confrère les a réunies en un corps de doctrine qui contient un grand nombre de réductions et de propriétés des fonctions elliptiques que l’auteur a le premier fait connaître, et particulièrement une nouvelle échelle de module dont la découverte lui est également due. L’ouvrage de M. Legendre renferme les méthodes les plus simples pour réduire en tables, les valeurs numériques des trois espèces de fonctions elliptiques ; et joignant l’exemple aux préceptes, l’auteur a formé effectivement des tables de ces valeurs, calculées à un très-grand degré d’approximation. Le premier volume contient aussi des tables analytiques, comprenant un grand nombre d’intégrales qui se réduisent aux fonctions elliptiques ; réduction dont Maclaurin et d’Alembert avaient autrefois donné quelques exemples. On y
