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ce qui montre qu’on remplit la condition exprimée par l’équation (4), au moyen des valeurs précédentes de $\mathrm {V,U} ,h,$ et en prenant $\mathrm {QQ} '$ pour $\mathrm {T} \,;$ par conséquent, en vertu de la première partie de cette démonstration, la valeur $\mathrm {\frac {U}{V}}$ de $y,$ ou la formule (9) satisfera à l’équation différentielle (3) ; $\mu$ et $h$ étant donnés en fonctions de $k$ par les formules (11) et (13). C’est en cela que consiste le théorème de M. Jacobi, qu’il s’agissait de démontrer.

L’équation (9) sera une intégrale particulière de cette équation différentielle ; on en déduira l’intégrale complète, en désignant par $c$ une constante arbitraire, et remplaçant $y$ par

${\frac {y{\sqrt {(1-c^{2})(1-h^{2}c^{2})}}+c{\sqrt {(1-y^{2})(1-h^{2}y^{2})}}}{1-h^{2}c^{2}y^{2}}},$

dans les deux équations ; substitution qui ne changera rien, comme on sait, au second membre de l’équation différentielle.

Les expressions du multiplicateur et du module $h$ peuvent être présentées sous différentes formes, équivalentes aux formules (11) et (13). Les trois équations (9), (12) et (14), sont aussi équivalentes : elles font connaître les valeurs de $\sin .\psi ,$ $\cos .\psi$ et ${\sqrt {1-h^{2}\sin .^{2}\psi }},$ relatives à l’amplitude de la fonction cherchée, au moyen du sinus de l’amplitude $\varphi$ de la fonction donnée et de son module $k.$ Si l’on voulait avoir immédiatement l’amplitude $\psi ,$ on emploierait la formule^[1]

$\psi =\varphi +2\varphi _{2}+2\varphi _{4}+\ldots +2\varphi _{p-1},$

1. Traité des fonctions elliptiques, tome III, page 26.