![{\displaystyle \operatorname {F} z={\frac {\sin .z}{e^{\frac {\pi \alpha z}{x}}-e^{\frac {-\pi \alpha z}{x}}}},\qquad \operatorname {F} z={\frac {\cos ..z}{e^{\frac {\pi \alpha z}{x}}+e^{\frac {-\pi \alpha z}{x}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba103c69a19d0d07bc8cd3e4a3f15601de4c6c1)
les équations (8) deviendront
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(9)
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Soit maintenant
![{\displaystyle {\frac {az}{x}}=t,\qquad dz={\frac {xdt}{\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24238467f2ecc37a648640d31db66706af84de4d)
les limites des intégrales relatives à
seront toujours zéro et l’infini ; au moyen des formules connues
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin .2\theta t}{e^{\pi t}-e^{-\pi t}}}dt=&{\frac {e^{\theta }-e^{-\theta }}{e^{\theta }+e^{-\theta }}},\\2\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos .2\theta t}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}dt=&{\frac {1}{e^{\theta }+e^{-\theta }}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568825479cdfa340bb18ad2cfa6fd5c245fa7869)
dans lesquelles 6 est une constante quelconque, on obtiendra les valeurs des intégrales que contiennent les équations (9) ; et en les substituant dans ces équations, elles se changeront