Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/373

rappelé spécialement dans ces notes l’objection relative aux racines de l’équation $\operatorname {tang} .x=0\,;$ et pour la réfuter j’ai prouvé, non pas que l’équation $\sec .x=0$ n’a aucune racine ni réelle ni imaginaire, ce qui ne serait pas conforme aux principes d’une analyse exacte, mais que les racines imaginaires de cette équation $\sec .x=0$ n’appartiennent point l’équation $\operatorname {tang} .x=0.$ On n’avait pas encore eu l’occasion de remarquer qu’il y a des cas où une fonction n’est pas le produit de tous les facteurs du premier degré correspondant aux racines de l’équation dont le premier membre est la fonction elle-même ; je montrai que, pour l’équation dont il s’agit, $\operatorname {tang} .x=0$ ce produit est $\sin .x,$ et non point $\operatorname {tang} .x.$

Je termine ici ce Mémoire, en omettant des développements qui n’appartiendraient qu’aux traités généraux d’analyse. Ces considérations sur les propriétés des fonctions transcendantes, et sur leurs rapports avec l’analyse algébrique, méritent toute l’attention des géomètres. Elles montrent que les principes de la résolution des équations appartiennent à l’analyse générale, dont elles sont le vrai fondement.

L’étude approfondie de la théorie des équations éclaire des questions physiques très-variées et très-importantes, par exemple celles qui représentent les dernières oscillations des corps, ou divers mouvements des fluides, ou les conditions de stabilité du système solaire, ou enfin les lois naturelles de la distribution de la chaleur.