Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/569

$\mathrm {A_{0},A_{1},A_{2}} ,$ etc., désignant des coefficients indépendants de $2l\alpha '.$ De là, il résulte que les quantités soumises à l’intégration dans les formules (15), seront des séries de sinus et de cosinus de $2l\alpha ',$ comprenant un terme indépendant de cet angle. Or, dans le cas de $l=\infty ,$ il est évident que l’intégration fera évanouir tous les termes périodiques ou dépendants de $2l\alpha ',$ et ne laissera subsister que les termes non-périodiques. Il suffira donc de réduire à ces derniers, les quantités comprises sous les signes $\int .$

Les termes de cette nature s’obtiennent facilement par des intégrations relatives à $l\alpha '\,;$ et si l’on fait $l\alpha '=\omega ,$ on aura, de cette manière,

${\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }{\frac {\cos .^{2}\omega d\omega }{a^{4}\alpha ^{2}\cos .^{2}\omega +a'^{4}\alpha '^{2}\sin .^{2}\omega }}=&{\frac {1}{a^{2}\alpha \left(a^{2}\alpha +a'^{2}\alpha '\right)}},\\{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }{\frac {\sin .^{2}\omega d\omega }{a^{4}\alpha ^{2}\cos .^{2}\omega +a'^{4}\alpha '^{2}\sin .^{2}\omega }}=&{\frac {1}{a'^{2}\alpha '\left(a^{2}\alpha +a'^{2}\alpha '\right)}},\end{aligned}}$

pour les parties non-périodiques de $\mathrm {H} ^{-2}\cos .^{2}l\alpha '$ et $\mathrm {H} ^{-2}\sin .^{2}l\alpha ',$ seules quantités comprises sous les signes $\int ,$ dont les développements puissent renfermer de semblables termes.

Avant de substituer les formules (11) à la place de $\mathrm {E}$ et $\mathrm {F}$ dans les formules (15), nous mettrons $x'$ au lieu de $x$ sous les signes $\int$ que les premières renferment. Ensuite, nous terons, pour abréger,