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J’ai mis $\pm$ devant $at$ dans les quantités $\varpi$ et $\varpi '$ représentent ; mais il faudra se rappeler qu’on doit prendre successivement le signe supérieur et le signe inférieur, puis ajouter les résultats pour former les expressions complètes de $\Pi$ et $\Pi '.$

Afin d’éviter l’indétermination des intégrales relatives à $\rho$ qui aurait lieu à la limite $\rho =\infty ,$ je multiplie sous les signes $\int ,$ par $e^{-g\rho }\,;$ $e$ désignant la base des logarithmes népériens, et $g$ étant une constante positive et infiniment petite que l’on fera tout-à-fait nulle à la fin du calcul. On aura alors

$\int _{0}^{\infty }e^{-g\rho }\rho \sin .\rho r'\cos .\rho \varpi d\rho$

$=-{\frac {1}{2}}{\frac {d.}{dr'}}\left({\frac {g}{g^{2}+(r'-\varpi )^{2}}}+{\frac {g}{g^{2}+(r'+\varpi )^{2}}}\right).$

J’intègre les deux membres de cette équation depuis $r'=0$ jusqu’à $r'=\infty ,$ après les avoir multipliés par $r'fr'dr'.$ Je suppose que pour de très-grandes valeurs de $r',$ la fonction $fr'$ décroisse plus rapidement que ${\frac {1}{r'}},$ en sorte que le produit $r'fr'$ s’évanouisse à la limite $r'=\infty ,$ aussi bien que pour $r'=0.$ D’après cela, si l’on effectue l’intégration par partie dans le second membre, on aura

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-g\rho }\rho r'\sin .\rho r'\cos .\rho \varpi fr'dr'd\rho$

$={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {g}{g^{2}+(r'-\varpi )^{2}}}+{\frac {g}{g^{2}+(r'+\varpi )^{2}}}\right)d.r'fr'.$

Mais la fonction $fr'$ n’étant donnée que pour les valeurs positives de $r'$ et restant indéterminée pour ses valeurs néga-