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${\begin{alignedat}{2}(\mathrm {A} )\qquad &{\frac {s}{b}}&&=\left(1+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {3}{64}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\sigma \\&&&+\left({\frac {1}{8}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\sin .2\sigma \\&&&-{\frac {1}{256}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \sin .4\sigma \\&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(\mathrm {B} )\qquad &\varphi &&=\omega -\left({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\sigma \cos .\lambda \\&&&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \sin .2\sigma \\&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}$

écrivant ici, pour abréger, $\sigma ,\,s$ et $\varphi$ au lieu de $\sigma ',\,s'$ et $\varphi '.$

Relativement au triangle sphéroïdique obliquangle $\mathrm {M'PM''} ,$ on aura de même, en faisant $s=s''-s',$ et $\varphi =\varphi ''-\varphi ',$

${\begin{alignedat}{2}(\mathrm {A} ')\qquad &{\frac {s}{b}}&&=(\sigma ''-\sigma ')\left(1+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {3}{64}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&&&+(\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma ')\left({\frac {1}{8}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&&&-(\sin .4\sigma ''-\sin .4\sigma ')\left({\frac {1}{256}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(\mathrm {B} ')\qquad &\varphi &&=\omega ''-\omega '-(\sigma ''-\sigma ')\left({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}\right)\cos .\lambda \\&&&+\left(\sigma ''-\sigma '+{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right)\left({\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \right)\\&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}$

Ces quatre séries démontrées au chapitre I^er du livre VI de la Géodésie, sont d’autant plus convergentes que la quantité $\varepsilon$ est plus petite, quelle que soit d’ailleurs la grandeur de l’arc $s.$ Or $e^{2}$ désignant le carré de l’excentricité de l’ellipsoïde de révolution, on a ${\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=e^{2},$ et par conséquent