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ou

$\lambda =\lambda _{0}-\theta \cot .\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} ,$

expressions dans lesquelles $\cos .\lambda _{0}=\cos .\lambda ''\sin .\mathrm {Z} .$

De même à cause de

$\cos .\sigma ''={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda }}={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\left(\lambda _{0}-\theta \cot .\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \right)}},$

il vient, en développant,

$\sigma ''=\sigma ''_{0}-\theta \cot .\mathrm {Z} \cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\sigma ''_{0},$

et alors $\cos .\sigma ''_{0}={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda _{0}}}.$

Pour déterminer $\sigma '$ aux quantités près du deuxième ordre, on remarquera qu’à cause de

$\sigma '=\sigma ''-{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{4}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\sin .^{2}\lambda +{\frac {1}{8}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda (\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma '),$

on a, à ce degré de précision,

${\begin{aligned}\sigma '&=\sigma ''-{\frac {s}{b}}-\tau \\\sin .2\sigma '&=\sin .\left(2\sigma ''-2{\frac {s}{b}}\right)-2\tau \cos .\left(2\sigma ''-2{\frac {s}{b}}\right),\end{aligned}}$

et

$\sigma ''-\sigma '={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right],$

en faisant dans le second membre $\sigma '_{0}=\sigma ''_{0}-{\frac {s}{b}},$ et donnant à $\mathrm {A} _{0}^{(1)}$ la même signification qu’au troisième cas. On a donc

${\begin{aligned}\sin .2\sigma ''&=\sin .2\sigma ''_{0}-2\cos .2\sigma ''_{0}\left(\theta \cot .\mathrm {Z} \cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\sigma ''_{0}\right)\\\sin .2\sigma '&=\sin .\left(2\sigma ''-2{\frac {s}{b}}\right)\\&+\cos .\left(2\sigma ''-2{\frac {s}{b}}\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left(\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right)\right],\end{aligned}}$