ou
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}-\theta \cot .\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e97a2db110a44c26581e6d16d57099cbb98159b)
expressions dans lesquelles ![{\displaystyle \cos .\lambda _{0}=\cos .\lambda ''\sin .\mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66209c1e7bb6e14eef3b22c695ebbb4d5df69a87)
De même à cause de
![{\displaystyle \cos .\sigma ''={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda }}={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\left(\lambda _{0}-\theta \cot .\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56ca335b43fdf3dc6c9bb93c9b74b99165b9b1f)
il vient, en développant,
![{\displaystyle \sigma ''=\sigma ''_{0}-\theta \cot .\mathrm {Z} \cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\sigma ''_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a2a252e074fc8c7a8f82277519e8b64448b996)
et alors ![{\displaystyle \cos .\sigma ''_{0}={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda _{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904ff333aa28e2634bbbd5b73ec28d715e2bfccc)
Pour déterminer
aux quantités près du deuxième ordre, on remarquera qu’à cause de
![{\displaystyle \sigma '=\sigma ''-{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{4}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\sin .^{2}\lambda +{\frac {1}{8}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda (\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fff96c037071d58a864336194691eec9021bef)
on a, à ce degré de précision,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma '&=\sigma ''-{\frac {s}{b}}-\tau \\\sin .2\sigma '&=\sin .\left(2\sigma ''-2{\frac {s}{b}}\right)-2\tau \cos .\left(2\sigma ''-2{\frac {s}{b}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3214ede0ddc6bd6d04d870c6c266e0fd8d73afcc)
et
![{\displaystyle \sigma ''-\sigma '={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f523458f2961462a494a987135a7c80cae9b28)
en faisant dans le second membre
et donnant à
la même signification qu’au troisième cas. On a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin .2\sigma ''&=\sin .2\sigma ''_{0}-2\cos .2\sigma ''_{0}\left(\theta \cot .\mathrm {Z} \cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\sigma ''_{0}\right)\\\sin .2\sigma '&=\sin .\left(2\sigma ''-2{\frac {s}{b}}\right)\\&+\cos .\left(2\sigma ''-2{\frac {s}{b}}\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left(\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311c466b53a7e89e5e23f419320b2f55cff81636)