En regardant
comme une quantité infiniment petite, qu’on fera tout-à-fait nulle à la fin du calcul, on en conclura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho (\rho '+at)d\rho \,d\rho '&=\int _{0}^{\infty }{\frac {g\varphi (x',y',z')}{g^{2}+(\rho '+at)^{2}}}d\rho ',\\\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho (\rho '-at)d\rho \,d\rho '&=\int _{0}^{\infty }{\frac {g\varphi (x',y',z')}{g^{2}+(\rho '-at)^{2}}}d\rho '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0774130c11d9f4ec566b8a18129f6e040ba953d)
Lorsque
aura une valeur finie, la première de ces intégrales simples s’évanouira avec
la seconde n’aura de valeurs différentes de zéro, que pour des valeurs de
infiniment peu différentes de
en faisant donc
![{\displaystyle \rho '=at+\eta ,\qquad d\rho '=d\eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072c97520b4a4d6c5e47c6ad5fa9c919803eab3a)
on y pourra considérer la variable
comme infiniment petite, positive ou négative. Ainsi, l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho (\rho '+at)d\rho \,d\rho '=0,\\&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho (\rho '-at)d\rho \,d\rho '=\\&\varphi \left(x+at\cos .\theta ',y+at\sin .\theta '\sin .\omega ',z+at\sin .\theta '\cos .\omega '\right)\int {\frac {gd\eta }{g^{2}+\eta ^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0537418d50ec940a8f06f00112df3cbc81d5345)
en ayant égard aux valeurs de
À cause de
infiniment petit, cette dernière intégrale est égale à
quelles que soient ses limites, l’une positive et l’autre négative. En ajoutant les deux équations précédentes, on aura donc
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