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$\left.{\begin{aligned}\zeta \ &=2\pi ^{2}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (x+at\alpha ,y+at\beta ,z+at\gamma )\left(3\alpha ^{2}-1\right)\sin .\theta \,d\theta \,d\omega \\&+2\pi ^{2}{\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (x+at\alpha ,y+at\beta ,z+at\gamma )t\alpha ^{2}\sin .\theta \,d\theta \,d\omega \\&-2\pi ^{2}\int _{at}^{\infty }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (x+\rho \alpha ,y+\rho \beta ,z+\rho \gamma )\left(3\alpha ^{2}-1\right){\frac {\sin .\theta }{\rho }}d\rho \,d\theta \,d\omega \\\zeta '&=6\pi ^{2}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (x+at\alpha ,y+at\beta ,z+at\gamma )\beta \gamma \sin .\theta \,d\theta \,d\omega \\&+2\pi ^{2}{\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (x+at\alpha ,y+at\beta ,z+at\gamma )t\beta \gamma \sin .\theta \,d\theta \,d\omega \\&-6\pi ^{2}\int _{at}^{\infty }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (x+\rho \alpha ,y+\rho \beta ,z+\rho \gamma )\beta \gamma {\frac {\sin .\theta }{\rho }}d\rho \,d\theta \,d\omega ,\end{aligned}}\right\}$

(11)

en y mettant $\rho ,\theta ,\omega ,$ au lieu de $\rho ',\theta ',\omega ',$ et faisant toujours

$\alpha =\cos .\theta ,\qquad \beta =\sin .\theta \sin .\omega ,\qquad \gamma =\sin .\theta \cos .\omega .$

Soit encore

$\zeta ''=\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .\rho \delta \cos .\rho at.\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz'.$

Si nous mettons successivement $\alpha ^{2},\beta ^{2},\gamma ^{2},$ à la place de $\alpha ^{2}$ sous l’intégrale sextuple que $\zeta$ représente, et que nous fassions la somme des trois résultats, nous obtiendrons l’intégrale représentée par $\zeta ''\,;$ et d’après la première équation (11), sa valeur sera

$\zeta ''=2\pi ^{2}{\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (x+at\alpha ,y+at\beta ,z+at\gamma )t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega \,;$

(12)

ce qu’on trouverait aussi en appliquant directement l’analyse précédente à la transformation de $\zeta ''.$