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(1)

${\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{1}=&\mathrm {S} _{1}\\-2.{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{2}=&{\rm {S_{2}+S_{1}.{\frac {1}{2}}A_{1}}}\\-3.{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{3}=&{\rm {S_{3}+S_{2}.{\frac {1}{2}}A_{1}+S_{1}.{\frac {1}{2}}A_{2}}}\\-4.{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{4}=&{\rm {S_{4}+S_{3}.{\frac {1}{2}}A_{1}+S_{2}.{\frac {1}{2}}A_{2}+S_{1}.{\frac {1}{2}}A_{3}}}\\-5.{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{5}=&{\rm {S_{5}+S_{4}.{\frac {1}{2}}A_{1}+S_{3}.{\frac {1}{2}}A_{2}+S_{2}.{\frac {1}{2}}A_{3}+S_{1}.{\frac {1}{2}}A_{4}}}\\{\text{etc}}.&\end{aligned}}$

À l’égard de la somme désignée en général par $\mathrm {S} _{k},$ elle ne peut avoir que l’une des deux valeurs $-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}},-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}.$

On peut supposer $\mathrm {S} _{1}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}.$ et alors on aura $\mathrm {S} _{k}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}},$ si $k$ appartient à la série des nombres $\alpha \,;$ et $\mathrm {S} _{k}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}},$ si $k$ appartient à la série des nombres $\beta .$

Dans le premier cas, le nombre $k$ serait un résidu quadratique de $n,$ et on aurait, suivant la notation ordinaire, $\left({\frac {k}{n}}\right)=1\,;$ dans le second cas, le nombre $k$ serait un non-résidu et on aurait $\left({\frac {k}{n}}\right)=-1\,;$ donc dans tous les cas on aura, au moyen du symbole $\left({\frac {k}{n}}\right),$

(2)

$\mathrm {S} _{k}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}.\left({\frac {k}{n}}\right).$

Étant donnés $n$ et $k,$ on pourra toujours déterminer a priori celle des deux valeurs $+1$ et $-1$ qui convient au symbole $\left({\frac {k}{n}}\right).$ Ainsi on connaîtra successivement toutes les sommes ${\rm {S_{1},S_{2},S_{3},}}$ etc., ce qui permettra de déterminer les coefficients ${\rm {A_{1},A_{2},A_{3},}}$ par le moyen des équations (1). Ensuite la fonction $2x^{m}+\mathrm {A} _{1}x^{m-1}+\mathrm {A} _{2}x^{m-2}+\mathrm {A} _{3}x^{m-3}+$ etc. prendra la forme