Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 11.djvu/324

Or on trouve par les principes connus

$\left({\frac {2}{31}}\right)=1,\quad \left({\frac {2}{31}}\right)=-\left({\frac {31}{3}}\right)=-1,\quad \left({\frac {4}{31}}\right)$ ou en général $\left({\frac {c^{2}}{31}}\right)=1,$

$\left({\frac {5}{31}}\right)=\left({\frac {31}{5}}\right)=1,\quad \left({\frac {6}{31}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right).\left({\frac {3}{31}}\right)=-1,\quad \left({\frac {7}{31}}\right)=-\left({\frac {31}{7}}\right)$

$=-\left({\frac {3}{7}}\right)=\left({\frac {7}{3}}\right)=1,\quad \left({\frac {8}{31}}\right)=\left({\frac {2c^{2}}{31}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=1,\quad \left({\frac {9}{31}}\right)=1,$

$\left({\frac {10}{31}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right).\left({\frac {5}{31}}\right)=1,$ etc.,

on a donc

${\begin{aligned}&{\rm {S_{1}=S_{2}=S_{4}=S_{5}=S_{7}=S_{8}=S_{9}=S_{10}=P}}\\&{\rm {S_{3}=S_{6}=Q.}}\end{aligned}}$

Ensuite par l’application des équations (1) on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=&1+{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{2}=&-7+{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{3}=&-11-{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{4}=&2-2{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{5}=&8\\\mathrm {A} _{6}=&-3+{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{7}=&-5-{\sqrt {-n}}\\\mathrm {A} _{8}=&5-{\sqrt {-n}}.\end{aligned}}$

Arrivé aux termes moyens $\mathrm {A} _{7}$ et $\mathrm {A} _{8}$ on peut se dispenser d’aller plus loin, car il est facile de voir qu’on doit changer simplement le signe de la partie réelle dans les coefficients précédents à compter de $\mathrm {A} _{7},$ ce qui donnera