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${\begin{aligned}&\mathrm {S_{1}=S_{3}=S_{4}=S_{7}=S_{9}=S_{10}} =-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}\\&\mathrm {S_{2}=S_{5}=S_{6}=S_{8}} =-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}\end{aligned}}$

et la substitution de ces valeurs dans les équations (1) donnera

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=&1+{\sqrt {n}},\quad \mathrm {A} _{2}=10,\quad \mathrm {A} _{3}=-4+2{\sqrt {n}},\quad \mathrm {A} _{4}=15-{\sqrt {n}},\\\mathrm {A} _{5}=&-5+3{\sqrt {n}},\quad \mathrm {A} _{6}=17-{\sqrt {n}},\quad \mathrm {A} _{7}=-8+2{\sqrt {n}},\\\mathrm {A} _{8}=&11-{\sqrt {n}},\quad \mathrm {A} _{9}=-4+2{\sqrt {n}},\quad \mathrm {A} _{10}=11-{\sqrt {n}}.\end{aligned}}$

Le terme moyen étant $\mathrm {A} _{9},$ il est inutile d'aller plus loin, et les coefficients qui suivent $\mathrm {A} _{9}$ seront égaux à ceux qui le précèdent à intervalles égaux, de sorte qu'on aura

$\mathrm {A} _{10}=\mathrm {A} _{8}=11-{\sqrt {n}},\qquad \mathrm {A} _{11}=\mathrm {A} _{7}=-8+2{\sqrt {n}},$etc.;

et on en déduit les valeurs suivantes des fonctions $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z} ,$

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =&2x^{18}+x^{17}+10x^{16}-4x^{15}+15x^{14}-5x^{13}+17x^{12}-8x^{11}\\&+11x^{10}-4x^{9}+11x^{8}-8x^{7}+17x^{6}-5x^{5}+15x^{4}-4x^{3}\\&+10x^{2}+x+2\\\mathrm {Z} =&x^{17}+2x^{15}-x^{14}+3x^{13}-x^{12}+2x^{11}-x^{10}+2x^{9}\\&-x^{8}+2x^{7}-x^{6}+3x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x,\end{aligned}}$

lesquelles satisfont à l'équation ${\rm {4X=Y^{2}-37Z^{2}.}}$

Dans ces deux exemples les coefficients des fonctions $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ sont encore plus petits que ${\frac {1}{2}}n\,;$ mais à compter de $n=41,$ on trouve des coefficients plus grands, ce qui devient encore plus marqué, lorsque franchissant un plus grand intervalle on prend $n=61.$ Voici les résultats de ces calculs qui feront suite au tableau de l'article 512.