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supprimant donc et substituant cette valeur de $\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {E} dx$ dans l’équation $d\mathrm {V} =0,$ commune au maximum et au minimum, on aura simplement

${\begin{aligned}\mathrm {V} _{\text{ı}}dx_{\text{ı}}\ \ &+\mathrm {(P_{\text{ı}}\,-Q'_{\text{ı}}\,+etc.)\varepsilon _{\text{ı}}\,+(Q_{\text{ı}}\,-etc.)\varepsilon '_{\text{ı}}\,+etc.} \\-\mathrm {V} _{0}dx_{0}&-\mathrm {(P_{0}-Q'_{0}+etc.)\varepsilon _{0}-(Q_{0}-etc.)\varepsilon '_{0}-etc.} =0.\end{aligned}}$

Observons, enfin, que si l’on représente par $dy,\,dy',\,dy'',$ etc., les différentielles complètes de $y,y',y'',$ etc., par rapport à $x$ et aux quantités $x_{0},\,x_{\text{ı}},\,y_{0},\,y_{\text{ı}},$ etc., on aura

$dy=y'dx+\varepsilon ,\qquad dy'=y''dx+\varepsilon ',$etc.

Pour les valeurs particulières $x=x_{0},$ et $x=x_{\text{ı}},$ nous aurons donc

${\begin{alignedat}{2}\varepsilon _{0}=&dy_{0}-y'_{0}dx_{0},\qquad &\varepsilon '_{0}=&dy'_{0}-y''_{0}dx_{0},{\text{etc}}.,\\\varepsilon _{\text{ı}}=&dy_{\text{ı}}\ -y'_{\text{ı}}dx_{\text{ı}},\qquad &\varepsilon '_{\text{ı}}=&dy'_{\text{ı}}\ -y''_{\text{ı}}dx_{\text{ı}},{\text{etc}}.\,;\end{alignedat}}$

et si l’ou substitue ces valeurs dans l’équation précédente, elle prendra la même forme et devra être traitée de la même manière que l’équation $\Gamma =0,$ dont elle ne différera qu’en ce que les accroissements de $x_{0},\,x_{\text{ı}},\,y_{0},\,y_{\text{ı}},$ etc., sont représentés dans l’une par $\delta x_{0},\,\delta x_{\text{ı}},\,\delta y_{0},\,\delta y_{\text{ı}},$ etc., et dans l’autre par $dx_{0},\,dx_{\text{ı}},\,dy_{0},\,dy_{\text{ı}},$ etc.

(7) Les méthodes qu’on vient d’exposer s’étendront sans difficulté au cas où l’intégrale que l’on considère dépend de plusieurs inconnues. Soient $y$ et $z$ deux fonctions inconnues de la variable indépendante $x,$ et $\mathrm {V}$ une fonction donnée de $x,\,y,\,y',\,y'',$ $z,\,z',\,z'',$ etc. Considérons, comme précédemment, l’intégrale

$\mathrm {U} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {V} dx.$