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considérer maintenant $y$ et $z$ comme des inconnues indépendantes l’une de l’autre, dans l’équation $\delta \mathrm {U} =0,$ commune au maximum et au minimum de $\mathrm {U} .$ Cette équation se décomposera donc en celles-ci :

$\Delta =0,\qquad \mathrm {E} =0,\qquad \mathrm {F} =0,$

dont les deux dernières sont

$\left.{\begin{alignedat}{7}\mathrm {N} -&{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}&&+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dx^{2}}}&&-{\text{etc}}.&&+\lambda \alpha &&-{\frac {d.\lambda \beta }{dx}}&&+{\frac {d^{2}.\lambda \gamma }{dx^{2}}}&&-{\text{etc}}.=0,\\n-&{\frac {dp}{dx}}&&+{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}&&-{\text{etc}}.&&+\lambda \mu &&-{\frac {d.\lambda \nu }{dx}}&&+{\frac {d^{2}.\lambda \varpi }{dx^{2}}}&&-{\text{etc}}.=0.\end{alignedat}}\right\}$(9)

Jointes à l’équation donnée $\mathrm {L} =0,$ elles détermineront les valeurs de $y,z,\lambda ,$ en fonctions de $x$ et d’un certain nombre de constantes arbitraires. On aura, pour la détermination de ces constantes et des limites $x_{0}$ et $x_{\text{ı}},$ les conditions

$\Delta =0,\quad \delta \mathrm {L} _{0}=0,\quad \delta \mathrm {L} _{\text{ı}}=0,\quad \delta \mathrm {A} =0,\quad \delta \mathrm {B} =0,{\text{ etc}}.,$

en représentant par $\mathrm {A} =0,\,\mathrm {B} =0,$ etc., les équations relatives aux limites de $\mathrm {U}$ qui pourront être données dans les différents problèmes. Toutefois, une partie de ces constantes sera, en général, surabondante et restera indéterminée ; ce qui provient de ce que l’une des inconnues $y$ et $z$ n’est déterminée implicitement au moyen de l’autre que par l’équation différentielle $\mathrm {L} =0\,;$ et pour cette raison, on pourra, dans chaque cas, assujétir $y,\,z,$ et plusieurs de leurs coefficients différentiels à avoir des valeurs données, pour des valeurs particulières de $x.$

Cette belle méthode est due à Lagrange. Étendue à trois ou un plus grand nombre d’inconnues $y,\,z.$ etc., elle com-