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ce cas ne différera donc pas de celui du n^o 5 dans lequel la valeur de $y,$ relative au maximum et au minimum de $\mathrm {U}$ est donnée par l’équation (4) ; par conséquent si l’on substitue la valeur précédente de \lambda dans la première équation (8), on devra retrouver cette équation (4), laquelle se présenteral ainsi sous une infinité de formes différentes, à cause de l’indétermination de la fonction $t.$ Ces transformations de l’équation (4) pourront contribuer, dans des problèmes particuliers, à en faire découvrir une intégrale première, ou même une intégrale d’un ordre supérieur.

(10) La quantité $\mathrm {V}$ étant une fonction donnée de $x,y,y',y'',y''',$ etc., si $\mathrm {V} dx$ est une différentielle exacte, sans qu’on soit obligé d’établir aucune relation déterminée entre $x$ et $y,$ l’intégrale définie $\mathrm {U}$ sera une fonction des quantités $x_{0},\,y_{0},\,y'_{0},\,y''_{0},$ etc., $x_{\text{ı}},\,y_{\text{ı}},\,y'_{\text{ı}},\,y''_{\text{ı}},$ etc., relatives à ses deux limites, qui ne contiendra plus aucun signe d’intégration. La variation $\delta \mathrm {U}$ donnée par la formule (3), devra donc se réduire à sa partie $\Gamma \,;$ et, pour cela,il faudra que le facteur $\mathrm {H} ,$ compris sous le signe $\int ,$ soit identiquement nul. Ainsi, la même équation $\mathrm {H} =0,$ qui détermine la valeur de $y$ relative au maximum ou au minimum de $\mathrm {U}$ lorsque $\mathrm {V} dx$ n’est pas une différentielle exacte, doit devenir identique, quand $\mathrm {V} dx$ sera une différentielle exacte. Cette remarque est due à Euler qui a ainsi exprimé, le premier, par une équation, la condition nécessaire à l’intégrabilité d’une formule différentielle d’un ordre quelconque. Dans la 21^e leçon sur le calcul des fonctions, Lagrange a prouvé, par la considération de séries très-compliquées^[1], que non-seulement l’équa-

1. Page 400. édition de 1806.