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bitraire et indépendante de $\delta x$ et $\delta y\,;$ son coefficient $\mathrm {Z}$ dans l’équation (7) devra donc être zéro ; et en substituant l’expression de $\omega$ dans cette équation, elle deviendra

$\int _{0}^{l}\left[\left(\mathrm {Y} {\frac {dx}{ds}}-\mathrm {X} {\frac {dy}{ds}}\right)(p-z')-\mathrm {V} {\frac {dy}{ds}}\right]\delta x\,ds$

$+\int _{0}^{l}\left[\left(\mathrm {Y} {\frac {dx}{ds}}-\mathrm {X} {\frac {dy}{ds}}\right)(q-z_{_{'}})+\mathrm {V} {\frac {dx}{ds}}\right]\delta y\,ds=0.$

Or, les deux variations $\delta x$ et $\delta y$ étant arbitraires et indépendantes entre elles, il faudra que leurs coefficients soient séparément nuls ; en ajoutant à $\mathrm {V} ,$ la partie provenant de l’intégrale $\int \mathrm {W} \,dz$ dont on suppose la valeur donnée, on aura donc

${\begin{aligned}\left(\mathrm {Y} {\frac {dx}{ds}}-\mathrm {X} {\frac {dy}{ds}}\right)(p-z'\,)&=\left[\mathrm {V} +c(kp-hq)\right]{\frac {dy}{ds}},\\\left(\mathrm {X} {\frac {dy}{ds}}-\mathrm {Y} {\frac {dx}{ds}}\right)(q-z_{_{'}})&=\left[\mathrm {V} +c(kp-qh)\right]{\frac {dx}{ds}}.\end{aligned}}$

Mais l’une de ces équations est une suite de l’autre ; car si on les multiplie en croix, et qu’on supprime le facteur commun aux deux produits, on a

$(p-z')dx=(z_{_{'}}-q)dy\,;$

équation qui résulte déja, comme on l’a vu dans le premier cas, de ce que la surface demandée et la surface donnée se coupent suivant la courbe extérieure que l’on considère. Ces équations peuvent s’écrire de cette autre manière :

${\begin{aligned}\mathrm {Y} (p-z')dx=&\left[\mathrm {X} (p-z'\,)+\mathrm {V} +c(kp-qh)\right]dy,\\\mathrm {X} (q-z_{_{'}})dy=&\left[\mathrm {Y} (q-z_{_{'}})+\mathrm {V} +c(kp-hq)\right]dx\,;\end{aligned}}$