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$cos.\omega ,$ rationnelle et entière de l’ordre $i,$ relativement à ces trois dernières quantités, et telle que l’on ait généralement :

$0=\left({\frac {d.\left(1-\mu ^{2}\right).\left({\frac {d\mathrm {Y} ^{(i)}}{d\mu }}\right)}{d\mu }}\right)+{\frac {\left({\frac {d\,d\mathrm {Y} ^{(i)}}{d\omega ^{2}}}\right)}{1-\mu ^{2}}}+i.{\overline {i-1}}\mathrm {Y} ^{(i)}.$

La formule (5) du n^o 14. du troisième livre de la Mécanique caleste, devient ainsi

$\mathrm {V} ={\frac {4\pi }{3r}}.\int \rho .d.a^{3}+4\alpha \pi .\int \rho .d.\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+{\text{etc}}.\right)\,;$

$\pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon : les différentielles et les intégrales étant relatives à la variable $a\,;$ celles-ci étant prises depuis $a$ nul jusqu’à sa valeur à la surface du sphéroïde, valeur que je prendrai pour l’unité.

Concevons maintenant la mer en équilibre sur ce sphéroïde doué d’un mouvement de rotation. Soit $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur ; et désignons par $\mathrm {V} '$ la somme de toutes les molécules de la mer, divisées par leurs distances respectives au point attiré. Si l’on suppose ce point à la surface de la mer, on aura par le n^o 23 du troisième livre de la Mécanique céleste, pour l’équation de l’équilibre,

${\text{Constante}}={\frac {4\pi }{3r}}.\int \rho .d.a^{3}+4\alpha \pi .\int \rho .d.\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+{\text{etc}}.\right)$

$+\mathrm {V} '-{\frac {4}{3}}\pi .\int \rho .d.a^{3}.{\frac {\alpha \varphi .r^{2}}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\,;\qquad (1)$

Pour déterminer $\mathrm {V} ',$ je supposerai que le rayon mené de l’origine des rayons terrestres à la surface de la mer, soit $1+\alpha {\overline {y}}+\alpha \,y',$ ${\overline {y}}$ étant la valeur de $y$ à la surface du sphéroïde : $\alpha \,y'$ sera, à très-peu-près, la profondeur de la mer. Je supposerai ensuite,