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se réduisent à l’unité, comme cela doit être : car alors ${\sqrt {1-2\lambda \,x+x^{2}}}$ devient $1-x,$ et l’on a, en faisant $x$ nul après les différentiations,

$d^{i}.{\frac {1}{\frac {1-x}{1.2.3\ldots i.dx^{i}}}}=1=\mathrm {P} ^{(i)}.$

Mais, quelque petit que l’on suppose ${\sqrt {1-\lambda ^{2}}},$ ou $cos.\gamma ',$ on peut toujours supposer $i$ assez grand pour que $2i.cos.^{2}\gamma '$ soit fort grand ; et alors on a, à-fort-peu-près, l’intégrale

$\int d\omega .c^{-2i.cos.^{2}\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega \pm 2i.sin.\gamma .cos.\gamma '.sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega },$

égale à cette même intégrale dans laquelle on change $sin.^{2}{\frac {1}{2}}\omega ,$ dans ${\frac {1}{4}}\omega ^{2},$ et que l’on prend depuis $\omega$ nul jusqu’à $\omega$ infini. Il est facile d’en conclure que, dans le cas de $i$ pair, on a, lorsque $i$ est un très-grand nombre,

$\mathrm {P} ^{(i)}={\frac {2.(-1)^{\frac {i}{2}}.cos.(i+{\frac {1}{2}}).\gamma '}{{\sqrt {2i\pi }}.\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}\,;$

et dans le cas de $i$ impair et très-grand, on a

$\mathrm {P} ^{(i)}={\frac {2.(-1)^{\frac {i-1}{2}}.sin.(i+{\frac {1}{2}}).\gamma '}{{\sqrt {2i\pi }}.\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}.$

Pour peu que $\lambda$ soit moindre que l’unité, on peut supposer $i$ assez grand pour que ces expressions de $\mathrm {P} ^{(i)}$ soient fort approchées : elles deviennent exactes, lorsque $i$ est infini.

Considérons maintenant l’intégrale $\alpha .\int {\frac {y_{1}.d\mu '.d\omega '}{\sqrt {r^{2}-2\lambda \,r+1}}},$ qui devient $\mathrm {V} '',$ ou l’intégrale $(o),$ lorsqu’on suppose $r=1.$ Cette intégrale développée par rapport aux puissances de ${\frac {1}{r}},$ de-