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$b$ diffère très-peu de l’unité ; s’il s’agit d’un tube ouvert, $k$ est supposée très-petite ; et l’on a, à très-peu-près, $b=-1$ (n^o 18); ce dénominateur est donc à très-peu-près égal à $4sin.^{2}{\frac {2\pi \,l}{\lambda }},$ dans le premier cas, et à $4cos.^{2}{\frac {2\pi \,l}{\lambda }},$ dans le second ; donc il devient très-petit, dans le cas du tube fermé, quand la quantité $\lambda$ est égale à ${\frac {2l}{n+1}},$ ou qu’elle en diffère très-peu ; et, dans le cas du tube ouvert, lorsqu’on a exactement, ou à très-peu-près, $\lambda ={\frac {4l}{2n+1}}\,;$ $n$ désignant, dans les deux cas, un nombre entier, ou zéro. Ainsi, dans un tube ouvert, de longueur $l,$ le fluide ne peut pas faire de vibrations sonores dont la durée soit égale à ${\frac {4l}{(2n+1)a}},$ ou en diffère très-peu ; et dans un tube fermé de même longueur, cette durée ne peut pas être égale à ${\frac {2l}{(n+1)a}},$ ou peu différente d’une telle quantité.

(24) Ces résultats s’accordent avec ceux des n^os20 et 22 ; mais nous voyons, en outre, que toute autre espèce de vibrations sonores est possible, soit que le tube soit ouvert, ou qu’il soit fermé, puisque les valeurs de que nous venons d’exclure, sont les seules pour lesquelles les quantités $v$ et $s$ cessent d’être très-petites. Il n’est donc pas contraire aux lois du mouvement des fluides élastiques, que, dans un tube ouvert de longueur $l,$ la durée des vibrations soit plus grande que ${\frac {2l}{a}},$ et qu’elle surpasse ${\frac {4l}{a}}$ dans un tube fermé de même longueur ; par conséquent, le ton rendu par un tuyau de l’une ou l’autre espèce peut être au-dessous de celui qui répond à ces limites, que la théorie ordinaire avait fixées (n^os8