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ou si l’on pose

(52)

$(\alpha -\theta _{0})u=\upsilon .$

on aura

(53)

$\operatorname {F} (\alpha )u=A_{n}(\alpha -\theta _{1})(\alpha -\theta _{2})\ldots (\alpha -\theta _{n-1})\upsilon .$

Par suite, on vérifiera l’équation

(54)

$\operatorname {F} (\alpha )u=0,$

en prenant $\upsilon =0,$ ou, ce qui revient au même,

(55)

$(\alpha -\theta _{0})u=0.$

On prouvera également que l’équation (54) est vérifiée par toutes les valeurs de $u$ propres à vérifier les suivantes

(56)

$(\alpha -\theta _{0})u=0,\qquad (\alpha -\theta _{1})u=0,\ldots \qquad (\alpha -\theta _{n-1})u=0.$

Donc, on la vérifiera encore si l’on prend pour $u$ la somme des intégrales générales des équations (56), c’est-à-dire,

(57)

$u=c_{0}e^{\theta _{0}t}+c_{1}e^{\theta _{1}t}+\ldots +c_{n-1}e^{\theta _{n-1}t},$

$c_{1},\,c_{2},\ldots c_{n-1}$ désignant $n$ constantes arbitraires.

Si l’on propose de résoudre, à la place de l’équation (54), la suivante

(58)

$\operatorname {F} (\alpha )u=f(t),$

il suffira de connaître une valeur particulière de $u,$ telle que

(59)

$u={\frac {f(t)}{\operatorname {F} (\alpha )}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{\theta (t-\tau )\mathrm {i} }f(\tau )d\tau \,d\theta }{\operatorname {F} (\theta \mathrm {i} )}}.$

En ajoutant à cette valeur particulière de $u$ le second membre de la formule (57), on obtiendra l’intégrale générale de l’équation (56).

Observons maintenant que

(60)

${\frac {1}{\operatorname {F} (\alpha )}}={\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{0})}}{\frac {1}{\alpha -\theta _{0}}}+{\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{1})}}{\frac {1}{\alpha -\theta _{1}}}+\ldots +{\frac {1}{\operatorname {F} '(\theta _{n-1})}}{\frac {1}{\alpha -\theta _{n-1}}}.$