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$u,\qquad {\frac {du}{dt}},\ldots \qquad {\frac {d^{m-1}u}{dt^{m-1}}}$

se réduisent à des fonctions données

$f_{0}(x,y,z\ldots ),\qquad f_{1}(x,y,z\ldots ),\ldots \qquad f_{m-1}(x,y,z\ldots ),$

pour $t=0.$ Donc l’équation (4), après que l’on aura déterminé $\upsilon$ de manière à remplir les conditions prescrites, sera l’intégrale générale de la formule (1).

Deuxième exemple. Intégrer l’équation

(87)

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-m^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0,$

relative au mouvement d’une eorde tendue, de manière que l’on ait

(88)

${\text{pour }}t=0,\qquad {\frac {dz}{dt}}=0,\qquad {\text{et}}\qquad z=f(x).$

Solution. On trouvera

$z=e^{\frac {\alpha t}{m}}\psi _{0}(x)+e^{-{\frac {\alpha t}{m}}}\psi _{1}(x),$

$\psi _{0}(x)+\psi _{1}(x)=f(x),$

${\frac {\alpha }{m}}\psi _{0}(x)-{\frac {\alpha }{m}}\psi _{1}(x)=0,$

$\psi _{0}(x)=\psi _{1}(x)={\frac {1}{2}}f(x).$

(89)

$z=e^{{\frac {1}{m}}\alpha t}{\frac {1}{2}}f(x)+e^{-{\frac {1}{m}}\alpha t}{\frac {1}{2}}f(x)$

$={\frac {1}{2}}\left[f\left(x+{\frac {t}{m}}\right)+f\left(x+{\frac {t}{m}}\right)\right].$

Nota. La solution précédente suppose la fonction $f(x),$ connue au premier instant pour toutes les valeurs de $x.$

Concevons maintenant que les conditions (88) doivent être remplies seulement entre les limites $x=0,$ $x=a,$ et