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on en conclura, dis-je,

(3)

$\varphi \left(\alpha ,e^{\alpha }\right)f(x)=\varphi (\mathrm {D} _{x},1+\Delta _{x})f(x).$

De plus, si, la valeur de $\operatorname {F} (\alpha )$ restant quelconque, on a

(4)

$\operatorname {F} (\alpha )=\varphi (\alpha )\chi (\alpha ),$

alors, en posant

(5)

$\chi (\alpha )f(x)=\varpi (x),$

on trouvera

(6)

$\operatorname {F} (\alpha )f(x)=\varphi (\alpha )\varpi (x),$

ou

(7)

${\begin{aligned}\left[\varphi (\alpha ).\chi (\alpha )\right]f(x)&=\varphi (\alpha )\left[\chi (\alpha )f(x)\right]\\&=\chi (\alpha )\left[\varphi (\alpha )f(x)\right].\end{aligned}}$

Enfin, si l’on a

(8)

$f(x)=\mathbf {S} \varphi (k)e^{kx},$

$\mathbf {S}$ indiquant une somme quelconque de termes finis ou infiniment petits, on trouvera

(9)

$\operatorname {F} (\alpha )f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {F} (\lambda \mathrm {i} )\left[\mathbf {S} \varphi (k)e^{k\mu }\right]e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }d\mu \,d\lambda \,;$

et parce que

(10)

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\mu (k-\lambda )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\lambda \mathrm {i} )d\lambda \,d\mu =\operatorname {F} (k),$

on aura

(11)

$\operatorname {F} (\alpha )f(x)=\mathbf {S} \operatorname {F} (k)\varphi (k)e^{kx}.$

Ainsi, par exemple, l’équation

(12)

$f(x)=\int _{u'}^{u''}e^{ux\mathrm {i} }\varphi (u)du$

entraînera la suivante

(13)

$\operatorname {F} (\alpha )f(x)=\int _{u'}^{u''}\operatorname {F} (u\mathrm {i} )\varphi (u)e^{ux\mathrm {i} }du.$

Si l’on désigne par ${\mathfrak {f}}(x)$ une fonction de $x$ qui soit tou-