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ayant égard aux formules

$\cos p=1-{\frac {p^{2}}{1.2}}+{\frac {p^{4}}{1.2.3.4}}-\ldots ,\qquad \sin p=p-{\frac {p^{3}}{1.2.3}}+\ldots ,$

on trouvera

$e^{\mathrm {i} p}=\cos p+\mathrm {i} \sin p=1_{p}.$

On aura donc par suite

(4)

$e^{\mathrm {i} p}=1_{p},\qquad e^{-\mathrm {i} p}=1_{-p},$

et les formules (5) de la note 2^e donneront

(5)

$\cos p={\frac {e^{\mathrm {i} p}+e^{-\mathrm {i} p}}{2}},\qquad \sin p={\frac {e^{\mathrm {i} p}-e^{-\mathrm {i} p}}{2\mathrm {i} }}.$

Si dans ces dernières formules on écrit $z$ au lieu de $p,$ on obtiendra les suivantes :

(6)

$\cos z={\frac {e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}}{2}},\qquad \sin z={\frac {e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}\,;$

et pour que $\cos z,\sin z,$ se trouvent définis dans tous les cas possibles, il suffira d’étendre les équations (6) au cas même où la lettre $z$ désigne une quantité géométrique.

quatrième note. Fonctions continues de quantités géométriques.
Différentielles de ces quantités et de ces fonctions.

Soient

$z=r_{p}\qquad {\text{et}}\qquad Z=R_{p},$

deux quantités algébriques, mesurées dans un plan donné, à partir du pôle $\mathrm {O}$, ou plus généralement à partir de deux points fixes pris pour origines, jusqu'à deux points mobiles $A,\,B.$ $Z$ sera une fonction de $z,$ si le mouvement du point $\mathrm {A}$ détermine le mouvement du point $\mathrm {B} \,;$ et cette fonction sera continue, si à un mouvement infiniment petit du point $\mathrm {A}$ correspond toujours un mouvement infiniment petit du point $\mathrm {B} .$ Alors à un accroissement infiniment petit $\Delta z$ de la variable $z,$ correspondra toujours un accroissement infiniment petit $\Delta Z$ de la fonction elle-même. Si cette condition était remplie seulement entre certaines limites de la variable $z$ et pour certaines positions du point mobile $\mathrm {A} ,$ par exemple, quand ce point serait compris entre deux lignes données, la fonction $Z$ ne serait continue qu'entre ces limites.