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l’intégration relative à $v$ s’effectue immédiatement, en sorte qu’on a

${\begin{aligned}\varphi =2\pi \iint f(x&+at\cos .u)t\sin .u\,du\\&+2\pi {\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F} (x+at\cos .u)t\sin .u\,du\,;\end{aligned}}$

de plus, si l’on fait $fx\,dx=df_{1}x,$ $\operatorname {Fx} \,dx=d\operatorname {F_{1}x} ,$ on aura, en intégrant par rapport à $u,$ depuis $u=0$ jusqu’à $u=\pi ,$

${\begin{aligned}\int f(x+at\cos .u)t\sin .u\,du=&{\frac {1}{a}}f_{1}(x-at)-{\frac {1}{a}}f_{1}(x+at),\\\int \operatorname {F} (x+at\cos .u)t\sin .u\,du=&{\frac {1}{a}}\operatorname {F_{1}} (x-at)-{\frac {1}{a}}\operatorname {F_{1}} (x+at)\,;\end{aligned}}$

et par conséquent

$\varphi ={\frac {2\pi }{a}}\left(f_{1}(x-at)-f_{1}(x+at)+\operatorname {F_{1}} (x-at)-\operatorname {F_{1}} (x+at)\right)\,;$

ou bien, en réunissant les termes semblables,

$\varphi =fonct.(x-at)+Fonct.(x+at)\,;$

ce qui est effectivement l’intégrale connue de l’équation (4).

Lorsque $\varphi$ n’est fonction que de $t$ et de $r,$ l’équation (3) devient

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}}\right)\,;$

si on la multiplie par $r,$ elle prend la forme :

${\frac {d^{2}.r\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}.r\varphi }{dr^{2}}}\,;$

et en la comparant à l’équation (4), on voit que son intégrale doit être

$r\varphi =fonct.(r-at)+Fonct.(r+at).$