le signe de
ce qui donne un second résultat que je retranche du premier ; il vient
![{\displaystyle -2\pi {\sqrt {-1}}cos.g(x-p)cos.h(y-q)sin.\left(g^{2}+h^{2}\right)bt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e5b56decac71c19178dd524baedef2aaf70e30)
au moyen de quoi, de quoi, la partie de la valeur de
que nous voulons déterminer, devient
![{\displaystyle z={\frac {1}{\pi ^{2}}}\iint \Psi (p,q)\mathrm {T} \,dp\,dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de48373d014fc558501b023c1410601aa421e330)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {T} =\iint cos.g(x-p)cos.h(y-q)sin.\left(g^{2}+h^{2}\right)bt.{\frac {dg\,dh}{b\left(g^{2}+h^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074b24d1475650a2b05cea2fa21fa693ac82a120)
Si l’on différentie cette quantité par rapport à
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {T} }{dt}}&=\iint cos.g(x-p)cos.h(y-q)cos.\left(g^{2}+h^{2}\right)bt.dg\,dh\\&=\int cos.g(x-p)cos.g^{2}bt.dg.\int cos.h(y-q)cos.h^{2}bt.dh\\&\ -\int cos.g(x-p)sin.g^{2}bt.dg.\int cos.h(y-q)sin.h^{2}bt.dh.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5abdc0e2be87b290a080fae419fae0c0aec1a3)
Or, ces intégrations relatives à
et
peuvent s’effectuer par les méthodes connues : les limites étant zéro et l’infini, on a évidemment
![{\displaystyle \int cos.g(x-p)cos.g^{2}bt.dg={\frac {1}{2}}\int cos.\left(g^{2}bt+g(x-p)\right)dg,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7669a3025a1d245b2577139f3a95b1efa9488b28)
pourvu que l’on l’on prenne la seconde intégrale depuis
jusqu’à
celle-ci est la même chose que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int cos.\left(g^{2}bt-{\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}\right)dg&=cos.{\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}\int cos.g^{2}bt.dg\\&\ +sin.{\frac {(x-p)^{2}}{4bt}}\int sin.g^{2}bt.dg\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315636acc53e091df61b04bf655a76c0a6fb57af)