Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/524

en particulier, au nombre premier $\mathrm {Q} =p,$ de manière que l’on ait $x^{p}-1=\mathrm {M} p,$ cette équation aura, comme on l’a vu, toutes ses racines égales à l’unité. L’équation

${\frac {x^{p}-1}{x-1}}=\mathrm {X=M} p$

aura donc aussi ses $p-1$ racines égales à l’unité, et l’équation indéterminée

$u^{\lambda }+\mathrm {A} u^{\lambda -1}+\mathrm {B} u^{\lambda -2}+{\text{etc}}.+\mathrm {T=M} p$

aura ses $\lambda$ racines toutes égales à $m.$ Cette équation doit donc coïncider avec $(u-m)^{\lambda }=\mathrm {M} p,$ c’est-à-dire, avec l’équation

$u^{\lambda }-\lambda \,mu^{\lambda -1}+{\frac {\lambda \,m(\lambda \,m-m)}{2}}u^{\lambda -2}+{\text{etc}}.\pm m^{\lambda }=\mathrm {M} p\,;$

et par conséquent, les coëfficients de l’équation $\mathrm {U} =0$ ne sont autre chose, relativement à $p,$ que les coëfficients du binome $(u-m)^{\lambda }\,;$ ce qu’il fallait démontrer. Ces coëfficients se réduisent, si l’on veut, à cause de $\lambda \,m+1=p,$ et par conséquent de $\lambda \,m=-1,$ à ceux-ci :

${\begin{aligned}\mathrm {A} =1,\qquad &\mathrm {B} ={\frac {m+1}{2}},\qquad \mathrm {C} ={\frac {m+1}{2}}.{\frac {2m+1}{3}},\\&\mathrm {D} ={\frac {m+1}{2}}.{\frac {2m+1}{3}}.{\frac {3m+1}{4}},{\text{ etc}}.;\end{aligned}}$

de sorte que l’on a une expression générale très-simple des coëfficients $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ etc. de l’équation $\mathrm {U} =0,$ en ne considérant que leurs valeurs résidues relativement à $p=\lambda \,m+1.$

43. Soit, par exemple, $\lambda =2,$ et par conséquent $p=2m+1\,;$ on aura, pour les deux sommes $u$ et $u'$ des $m$ racines con-