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${\frac {m+1}{2}}$ peut se changer généralement dans l’entier négatif $-m\,;$ car en doublant, on a $m+1,$ qui équivaut à $-2m$ relativement à $p=3m+1.$ Ainsi l’on a : $\mathrm {B} =-m.$

Ensuite, comme $2m+1$ équivaut à $-m,$ le coëfficient ${\frac {m+1}{2}}.{\frac {2m+1}{3}}$ pourra se changer en ${\frac {m^{2}}{3}},$ ou plutôt en ${\frac {-ip+m^{2}}{3}},$ en ôtant au numérateur un certain multiple de $p$ qui rende possible la division par $3.$ Ainsi le coëfficient $\mathrm {C}$ sera égal à un entier de la forme ${\frac {m^{2}-ip}{3}},$ où l’indeterminée $i$ dépend de la nature du nombre $m.$

${\begin{aligned}{\text{Si }}p=19=&3.6+1,\quad {\text{on a }}m=6,\quad {\text{et}}\\\mathrm {C} =&{\frac {m^{2}-ip}{3}}={\frac {6^{2}-3.19}{3}}=-7.\\{\text{Si }}p=31=&3.10+1,\quad {\text{on a }}m=10,\quad {\text{et}}\\\mathrm {C} =&{\frac {m^{2}-ip}{3}}={\frac {10^{2}-4.31}{3}}=-8.\\{\text{Si }}p=37=&3.12+1,\quad {\text{on a }}m=12,\quad {\text{et}}\\\mathrm {C} =&{\frac {m^{2}-ip}{3}}={\frac {12^{2}-3.37}{3}}=11.\\{\text{Si }}p=43=&3.14+1,\quad {\text{on a }}m=14,\quad {\text{et}}\\\mathrm {C} =&{\frac {m^{2}-ip}{3}}={\frac {14^{2}-4.43}{3}}=8\,;\\{\text{etc}}.\quad \qquad &{\text{etc}}.\end{aligned}}$

45. Mais ces dernières applications méritent d’être approfondies et développées avec plus d’étendue dans un autre mémoire. Je me contente ici d’avoir démontré notre théorème général sur les équations binomes, de l’avoir éclairci par de nombreux exemples, et d’en avoir tiré, pour l’algèbre et pour l’analyse indeterminee, quelques verites nou-