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même ordre, et ne font que s’avancer à-la-fois d’un même nombre de places ; de sorte que les vingt-quatre permutations dont quatre choses sont généralement susceptibles, se réduisent ici à quatre, par le lien mutuel des racines que l’on considère. Mais, d’un autre côté, si l’on prend la fonction linéaire

$t=\varphi (r)+\alpha \varphi \left(r^{2}\right)+\alpha ^{2}\varphi \left(r^{4}\right)+\alpha ^{3}\varphi \left(r^{8}\right),$

où $\alpha$ est une des racines de $x^{4}-1=0,$ on voit aussi qu’en multipliant cette fonction $t$ par $\alpha ^{3},$ puis par $\alpha ^{2},$ puis par $\alpha ,$ on aura le même résultat que si l’on faisait avancer à-la-fois toutes les racines d’une, ou de deux, ou de trois places ; qu’ainsi donc, si l’on élève tout d’un coup la fonction $t$ à la quatrième puissance, on épuisera les quatre seules permutations dont les racines $\varphi (r),\,\varphi \left(r^{2}\right),$ etc. y sont susceptibles, et qu’on n’aura pour $t^{4}$ qu’une seule valeur, quelque échange qu’on veuille faire actuellement entre les racines. Donc, en remettant le radical $4^{\mathrm {me} }$ sur cette puissance de $t,$ qui nous sera connue, on aura immédiatement la valeur de cette fonction proposée. Donc, si l’on emploie de même, au lieu de $\alpha ,$ les trois racines de $x^{4}-1=0,$ on pourra connaître ainsi trois nouvelles fonctions linéaires $t',\,t'',\,t'''$ des quatre racines $\varphi (r)\,;$ et de ces quatre fonctions ou tirera surfe-champ, sans ambiguïté, les quatre racines inconnues :

$\varphi (r),\quad \varphi \left(r^{2}\right),\quad \varphi \left(r^{4}\right),\quad \varphi \left(r^{8}\right)$

Et il est manifeste que cette analyse s'étend, sans aucune difficulté, à toutes les équations qui proviendraient de l’équation binome $x^{n}-1=0.$