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Les équations déterminées qui représentent le mouvement de la chaleur à la surface, peuvent aussi être données sous une forme générale applicable à un solide quelconque. Cette équation est la suivante :

$0={\frac {h}{\mathrm {K} }}v+{\frac {{\frac {dv}{dz}}{\frac {dz}{dz}}-{\frac {dv}{dy}}{\frac {dz}{dy}}-{\frac {dv}{dx}}{\frac {dz}{dx}}}{\sqrt {\left({\frac {dz}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}}}}.\qquad \qquad (\varepsilon )$

${\frac {dv}{dz}},{\frac {dv}{dy}},{\frac {dv}{dx}},$ sont les coëfficients des différences partielles de $v,$ prises par rapport à $z,$ à $y,$ à $x.$ La surface qui termine le solide est supposée connue et donnée au moyen d’une équation qui fournit $z$ en fonction de $y$ et $x.$ Les coëfficients des différences partielles de $z$ prises dans cette équation de la surface par rapport à $y$ ou à $x$ sont ${\frac {dz}{dy}},{\frac {dz}{dx}},$ les termes ${\frac {dz}{dz}}$ peuvent être remplacés par $1.$ Le coëfficient $h$ est la mesure de la conducibilité extérieure. Enfin l’équation déterminée $(\varepsilon )$ doit avoir lieu lorsqu’on substitue au lieu de $x,\,y,\,z$ les valeurs qui conviennent aux points de la surface extérieure. Je ne rapporterai point ici le calcul de cette démonstration, il suffit d’en exposer les principes. Ils ne different point de ceux que nous avons déjà employés, et on peut l’en déduire de plusieurs manières différentes.

Si la fonction $v,$ qui contient $x,\,y,\,z,\,t,$ satisfait aux équations $(\mathrm {E} ),\,(\varepsilon ),$ les variations de la température sont telles qu’elles doivent avoir lieu dans l’intérieur du solide en vertu de l’action mutuelle des molécules, et à la surface extérieure en vertu de l’action du milieu. Ainsi le mouvement régulier qui s’est établi de lui-même immédiatement après l’immer-