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tions ${\frac {1}{1^{2}}},{\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {1}{4^{2}}},\ldots$ dont on aura séparé la fraction ${\frac {1}{n^{2}}},$ Il s’agit de déterminer $\mathrm {P} _{n},\mathrm {Q} _{n},\mathrm {R} _{n},\mathrm {S} _{n}\ldots$ au moyen de $\mathrm {P,Q,R,S} \ldots$ Si on représente par

$1-u\mathrm {P} _{n}+u^{2}\mathrm {Q} _{n}-u^{3}\mathrm {R} _{n}+u^{4}\mathrm {S} _{n}-$etc.

les produits des facteurs

$\left(1-u{\frac {1}{1^{2}}}\right)\left(1-u{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-u{\frac {1}{3^{2}}}\right)\ldots ,$

parmi lesquels on aurait omis le seul produit $\left(1-u{\frac {1}{n^{2}}}\right).$ il faudra qu’en multipliant par $\left(1-u{\frac {1}{n^{2}}}\right)$ la quantité

$1-u\mathrm {P} _{n}+u^{2}\mathrm {Q} _{n}-u^{3}\mathrm {R} _{n}+u^{4}\mathrm {S} _{n}-$etc.,

on trouve

$1-u\mathrm {P} +u^{2}\mathrm {Q} -u^{3}\mathrm {R} +u^{4}\mathrm {S} -$etc.

Cette comparaison donne les relations suivantes :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} _{n}+&{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {P} \qquad {\text{ou}}\qquad &\mathrm {P} _{n}=&\mathrm {P} -{\frac {1}{n^{2}}}\\\mathrm {Q} _{n}+&\mathrm {P} _{n}.{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {Q} &\mathrm {Q} _{n}=&\mathrm {Q} -{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {P} +{\frac {1}{n^{4}}}\\\mathrm {R} _{n}+&\mathrm {Q} _{n}.{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {R} &\mathrm {R} _{n}=&\mathrm {R} -{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {Q} +{\frac {1}{n^{4}}}\mathrm {P} -{\frac {1}{n^{6}}}\\\mathrm {S} _{n}+&\mathrm {R} _{n}.{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {S} &\mathrm {S} _{n}=&{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {R} +{\frac {1}{n^{4}}}\mathrm {Q} -{\frac {1}{n^{6}}}\mathrm {P} +{\frac {1}{n^{8}}},\end{alignedat}}$

etc.                                                  etc.

En employant les valeurs connues de $\mathrm {P,\,Q,\,R,\,S,\,T} ,$ etc., et faisant successivement $n=1,\,2,\,3,\ldots ,$ on aura les valeurs de $\mathrm {P_{1},\,Q_{1},\,R_{1},\,S_{1},\,T_{1}} \,;$ celles de $\mathrm {P_{2},\,Q_{2},\,R_{2},\,S_{2},\,T_{2}} \,;$ celles de