tions
dont on aura séparé la fraction
Il s’agit de déterminer
au moyen de
Si on représente par
![{\displaystyle 1-u\mathrm {P} _{n}+u^{2}\mathrm {Q} _{n}-u^{3}\mathrm {R} _{n}+u^{4}\mathrm {S} _{n}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41671bdd52be5c531cec8fb8d6612531ece8450)
etc.
les produits des facteurs
![{\displaystyle \left(1-u{\frac {1}{1^{2}}}\right)\left(1-u{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-u{\frac {1}{3^{2}}}\right)\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fd9ba6a4a1ec9952047288306e7088a32a6179)
parmi lesquels on aurait omis le seul produit
il faudra qu’en multipliant par
la quantité
![{\displaystyle 1-u\mathrm {P} _{n}+u^{2}\mathrm {Q} _{n}-u^{3}\mathrm {R} _{n}+u^{4}\mathrm {S} _{n}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41671bdd52be5c531cec8fb8d6612531ece8450)
etc.,
on trouve
![{\displaystyle 1-u\mathrm {P} +u^{2}\mathrm {Q} -u^{3}\mathrm {R} +u^{4}\mathrm {S} -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd575e3bc6b345f05844052d319cd79e3f995285)
etc.
Cette comparaison donne les relations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} _{n}+&{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {P} \qquad {\text{ou}}\qquad &\mathrm {P} _{n}=&\mathrm {P} -{\frac {1}{n^{2}}}\\\mathrm {Q} _{n}+&\mathrm {P} _{n}.{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {Q} &\mathrm {Q} _{n}=&\mathrm {Q} -{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {P} +{\frac {1}{n^{4}}}\\\mathrm {R} _{n}+&\mathrm {Q} _{n}.{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {R} &\mathrm {R} _{n}=&\mathrm {R} -{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {Q} +{\frac {1}{n^{4}}}\mathrm {P} -{\frac {1}{n^{6}}}\\\mathrm {S} _{n}+&\mathrm {R} _{n}.{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {S} &\mathrm {S} _{n}=&{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {R} +{\frac {1}{n^{4}}}\mathrm {Q} -{\frac {1}{n^{6}}}\mathrm {P} +{\frac {1}{n^{8}}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a4e982c36ad02b1734396de9c4e774373193c6)
etc. etc.
En employant les valeurs connues de
etc., et faisant successivement
on aura les valeurs de
celles de
celles de