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On peut appliquer l’une ou l’autre de ces formules toutes les fois que l’on aura à développer une fonction proposée en une série de sinus ou de cosinus d’arcs multiples. Si, par exemple, la fonction proposée est $e^{x}-e^{-x},$ dont le développement ne contient que des puissances impaires de $x,$ on aura

${\begin{aligned}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)&\left(\sin .x-{\frac {1}{2}}\ \ \sin .2x+{\frac {1}{3}}\ \ \sin .3x-{\frac {1}{4}}\ \ \sin .4x+\ldots \right)\\-\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)&\left(\sin .x-{\frac {1}{2^{3}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{3}}}\sin .3x-{\frac {1}{4^{3}}}\sin .4x+\ldots \right)\\+\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)&\left(\sin .x-{\frac {1}{2^{5}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{5}}}\sin .3x-{\frac {1}{4^{5}}}\sin .4x+\ldots \right)\\-\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)&\left(\sin .x-{\frac {1}{2^{7}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{7}}}\sin .3x-{\frac {1}{4^{7}}}\sin .4x+\ldots \right)\\+{\text{etc}}.\qquad &\end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{\pi }-e^{-\pi }}}\right)&=\sin .\ \ x\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{1^{7}}}+\ldots \right)\\&-\sin .2x\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{2^{5}}}-{\frac {1}{2^{7}}}+\ldots \right)\\&+\sin .3x\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{3^{5}}}-{\frac {1}{3^{7}}}+\ldots \right)\\&-{\text{etc}}.\end{aligned}}$

et mettant au lieu de ${\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n^{3}}}+{\frac {1}{n^{5}}}-{\frac {1}{n^{7}}}+\ldots$ sa valeur ${\frac {n}{n^{2}+1}},$ on aura

${\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{\pi }-e^{-\pi }}}\right)={\frac {\sin .x}{1+{\frac {1}{1}}}}-{\frac {\sin .2x}{2+{\frac {1}{2}}}}+{\frac {\sin .3x}{3+{\frac {1}{3}}}}-{\frac {\sin .4x}{4+{\frac {1}{4}}}}+\ldots$