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on tire $\qquad \qquad {\frac {1}{8}}\pi ={\frac {1}{1.3}}+{\frac {1}{5.7}}+{\frac {1}{9.11}}+{\frac {1}{13.15}}+\ldots$

et aussi $\qquad \qquad {\frac {1}{8}}\pi ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3.5}}-{\frac {1}{7.9}}-{\frac {1}{9.11}}-\ldots .$

En ajoutant ces deux résultats, on a, comme précédemment,

${\frac {1}{4}}\pi ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1.3}}-{\frac {1}{3.5}}+{\frac {1}{5.7}}-{\frac {1}{7.9}}+\ldots .$

28. L’analyse précédente donnant le moyen de developper une fonction arbitraire quelconque en série de sinus ou de cosinus d’ares multiples, nous l’appliquerons facilement au cas où la fonction à développer a des valeurs déterminées, lorsque la variable est comprise entre de certaines limites, et a des valeurs nulles lorsque la variable est comprise entre d’autres limites. Je m’arrêterai à l’examen de ce cas particulier, parce qu’il se présente dans les questions physiques qui dépendent des équations aux différences partielles, et qu’il avait été proposé comme un exemple de fonctions qui ne peuvent être développées en sinus ou cosinus d’ares multiples. Supposons donc que l’on ait à développer sous la forme $a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+\ldots$ une fonction dont la valeur est constante lorsque $x$ est comprise entre $0$ et $\alpha ,$ et dont toutes les autres valeurs sont nulles lorsque $x$ est comprise entre $\alpha$ et $\pi .$ On posera l’équation générale

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\sin .x\mathrm {S} (\varphi x\sin .xdx)&+\sin .2x\mathrm {S} (\varphi x\sin .2xdx)\\&+\sin .3x\mathrm {S} (\varphi x\sin .3xdx)+\ldots \end{aligned}}$

dans laquelle les intégrales doivent être prises depuis $x=0$