Si on supposait
tous les termes de la série s’évanouiraient, excepté le premier, qui deviendrait
et équivaudrait à
On aurait alors
On peut étendre la même analyse au cas où l’ordonnée représentée par
serait celle d’une ligne composée de differentes parties, dont les unes seraient des courbes et les autres des lignes droites. Par exemple, si la fonction dont on demande le développement en séries de cosinus d’arcs multiples, a pour valeur
depuis
jusqu’à
et est nulle depuis
jusqu’à
on emploiera l’équation générale
et en effectuant les intégrations dans les limites données, on trouvera que le terme général
est égal à
lorsque
est impair, à
lorsque
est double d’un nombre impair, et à
lorsque
est quadruple d’un nombre impair. D’un autre côté, on trouvera
pour valeur du premier termes
On aura donc le développement suivant :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\varphi x={\frac {1}{2.3}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}&+{\frac {2}{\pi }}\left({\frac {\cos .x}{1^{3}}}+{\frac {\cos .3x}{3^{3}}}+{\frac {\cos .5x}{5^{3}}}+{\frac {\cos .7x}{7^{3}}}+\ldots \right)\\&+\left({\frac {\cos .2x}{2^{2}}}-{\frac {\cos .4x}{4^{2}}}+{\frac {\cos .6x}{6^{2}}}-{\frac {\cos .8x}{8^{2}}}+\ldots \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7965a9a47c330b2020852a0f1f531da430ab3638)
On pourra trouver de la même manière le développement d’une fonction de
qui exprime l’ordonnée du contour d’un trapèze. Supposons que
soit égale à
depuis
jusqu’à
que cette fonction soit égale à
depuis