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${\begin{aligned}\omega =(a+b+c+\ldots )&+a_{1}{\frac {\sin .nu-\sin .(n-1)u}{\sin .u}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u}\\&+b_{1}{\frac {\sin .nu'-\sin .(n-1)u'}{\sin .u'}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u'}\\&+c_{1}{\frac {\sin .nu''-\sin .(n-1)u''}{\sin .u''}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u''}\\&+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

À l’égard des constantes $a,\,b,\,c,\ldots ,$ elles sont arbitraires, et, pour les déterminer, il faut considérer l’état initial du système. En effet, le temps $t$ étant nul, les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ doivent être égales à $a,\,b,\,c,\ldots \,;$ on aura $n$ équations semblables pour déterminer les $n$ constantes.

Les quantités

$\sin .u-\sin .0u,\quad \sin .2u-\sin .u,\quad \sin .3u-\sin .2u,$

$\ldots \sin .nu-\sin .(n-1)u$

peuvent être indiquées de cette manière :

$\Delta \sin .0u,\quad \Delta \sin .u,\quad \Delta \sin .2u,\ldots .,\quad \Delta \sin .(n-1)u.$

Les équations propres à déterminer les constantes sont, en représentant par $\mathrm {C}$ la température initiale,

${\begin{alignedat}{5}(c)\qquad a&=\mathrm {C} +a_{1}&&+b_{1}&&+c_{1}&&+\ldots \\b&=\mathrm {C} +a_{1}{\frac {\Delta \sin .u}{\sin .u}}&&+b_{1}{\frac {\Delta \sin .u'}{\sin .u'}}&&+c_{1}{\frac {\Delta \sin .u''}{\sin .u''}}&&+\ldots \\c&=\mathrm {C} +a_{1}{\frac {\Delta \sin .2u}{\sin .u}}&&+b_{1}{\frac {\Delta \sin .2u'}{\sin .u'}}&&+c_{1}{\frac {\Delta \sin .2u''}{\sin .u''}}&&+\ldots \\d&=\mathrm {C} +a_{1}{\frac {\Delta \sin .3u}{\sin .u}}&&+b_{1}{\frac {\Delta \sin .3u'}{\sin .u'}}&&+c_{1}{\frac {\Delta \sin .3u''}{\sin .u''}}&&+\ldots \\{\text{etc}}.&\end{alignedat}}$