Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/737

deux premières séries. Il n’en est pas de même de la somme $\mathbf {S} (\cos .j\mu q.\cos .j\nu q),$ prise dans le cas où $\mu q$ et $\nu q$ sont nuls. Cette somme des produits terme à terme des deux secondes séries est évidemment égale à $n.$ ce qui résulte de l’expression

$\mathbf {S} \left[{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q\right].$

Quant à la somme des produits terme à terme des deux séries

${\begin{array}{lllll}\sin .0u,&\sin .1u,&\sin .2u,&\sin .3u.\ldots &\sin .(n-1).u\\\cos .0v,&\cos .1v,&\cos .2v,&\cos .3v.\ldots &\cos .(n-1).v.\end{array}}$

leur somme $\mathbf {S} \sin .i\mu q.\cos .i\nu q)$ est nulle dans tous les cas. On a en effet

$\mathbf {S} (\sin .i\mu q.\cos .i\nu q)=\mathbf {S} \left[{\frac {1}{2}}\sin .i(\mu +\nu )q+{\frac {1}{2}}\sin .i(\mu -\nu )q\right].$

Si l’on représente l’arc $(\mu +\nu )q$ par $\alpha ,$ on aura la suite récurrente,

$\sin .0\alpha ,\,\sin .1\alpha ,\,\sin .2\alpha ,\,\sin .3\alpha .\ldots \sin .(n-3).\alpha ,\,\sin .(n-2).\alpha ,\,\sin .(n-1).\alpha ,$

dont la somme est nulle : car en représentant cette somme par $\mathbf {S} ,$ on aura

$\mathbf {S} =\sin .0\alpha \equiv \sin .1\alpha \equiv ,\sin .2\alpha \equiv \ldots \sin .(n-1).\alpha$

$-2\mathbf {S} \cos .\alpha -2\sin .\alpha \cos .0\alpha -2\cos .\alpha \sin .1\alpha \ldots$

$-2\cos .\alpha \sin .(n-2)\alpha -2\cos .\alpha \sin .(n-1)\alpha$

$\equiv \mathbf {S} \equiv \sin .0\alpha \equiv \sin .1\alpha \equiv \ldots \equiv \sin .(n-2)\alpha \equiv \sin .(n-1)\alpha .$

Les trois termes qui se correspondraient verticalement se détruisent d’eux-mêmes dans une partie du second nombre, parce que la série récurrente $\sin .0\alpha ,\,\sin .1\alpha ,\,\sin .2\alpha ,{\text{etc}}..$