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réelles. La première est comprise entre $0$ et ${\frac {\pi }{2}},$ la seconde entre $\pi$ et $3{\frac {\pi }{2}},$ la troisième entre $2\pi$ et $5{\frac {\pi }{2}},$ ainsi de suite. Ces racines approchent extrêmement de leurs limites supérieures lorsque leur rang est très-avancé.

Si l’on veut calculer la valeur d’une de ces racines, par exemple de la première, on peut employer la règle suivante : on écrira les deux équations $\varepsilon =\mathrm {A} .\operatorname {tang} .u$ et $u={\frac {\varepsilon }{\lambda }},$ $\mathrm {A} .\operatorname {tang} .u$ désignant la longueur de l’arc dont la tangente est $u\,;$ ensuite on prendra un nombre quelconque pour $u,$ on en conclura, au moyen de la première équation, la valeur de $\varepsilon \,;$ on substituera cette valeur dans la seconde équation, et l’on en déduira la valeur de $u;$ on substituera cette seconde valeur de $u$ dans la première équation, et on en déduira la valeur de $\varepsilon ;$ cette valeur étant substituée dans la seconde équation, on en conclura une troisième valeur de $u,$ qui, étant substituée dans la première équation, donne une nouvelle valeur de $\varepsilon .$ On continuera ainsi de déterminer $u$ par la seconde équation, et $\varepsilon$ par la première. Cette opération donnera des valeurs de plus en plus approchées de l’inconnue $\varepsilon .$ La construction suivante rend cette convergence manifeste.

En effet si le point $u$ (fig. 6) correspond à la valeur arbitraire que l’on attribue à l’ordonnée $u,$ et que l’on substitue cette valeur dans la première équation, le point $\varepsilon$ correspond à l’abcisse que l’on aura calculée, au moyen de cette équation $\varepsilon =\operatorname {tang} .u.$ Si l’on substitue cette abcisse $\varepsilon$ dans la seconde équation, on trouvera une ordonnée $u'$ qui correspond au point $u'.$ Substituant $u'$ dans la première équation, on trouvera une abcisse $\varepsilon ',$ qui répond au point $\varepsilon '.$ Ensuite cette