Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/119

pour valeur ${\frac {Y}{X}}$ et $-{\frac {D'Y}{DX}}\,;$ d’où il suit que la tangente de cet angle est

${\frac {DXY+D'XY}{DX^{2}-D'Y^{2}}}={\frac {D''XY}{D'Y^{2}-DX^{2}}}.$

Pour que cet angle soit droit, il faut que

$D'Y^{2}-DX^{2}=0,$

et qu’ainsi

${\frac {Y}{X}}=\pm {\sqrt {\frac {D}{D'}}}=\pm {\sqrt {\frac {H-K}{K-G}}}$

Cette valeur ne peut être réelle qu’autant que $K=\int z^{2}dm$ est compris entre $G=\int x^{2}dm$ et $H=\int y^{2}dm,$ c’est-à-dire qu’autant que le plan qu’on a choisi pour celui des $xy,$ et où se trouve l’axe du centre de convergence, est celui des trois plans principaux dont le moment d’inertie est intermédiaire entre les momens d’inertie relatifs aux deux autres plans principaux. Ce n’est donc que dans ce plan, celui des trois plans principaux qui passe par les deux axes principaux dont l’un a le plus grand et l’autre le plus petit moment d’inertie, que l’on peut trouver deux lignes, déterminées par la double valeur de ${\frac {Y}{X}},$ qui soient des axes de centres de convergence perpendiculaires aux plans directeurs dont tous les centres de convergence se trouvent sur ces lignes. Il ne peut donc, en général, exister dans un corps que deux systèmes de plans directeurs parallèles tels que le centre de convergence soit, pour chacun de ces plans au point où il est rencontré par la perpendiculaire abaissée du centre d’inertie du corps sur ce plan. Les plans de ces deux systèmes sont évidemment parallèles à l’axe principal dont le moment d’inejtie est intermédiaire entre les momens d’inertie des deux autres axes principaux.