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que les quantités variables qui multiplient les exponentielles sont toutes affectées des signes cosinus ou sinus ; elles ne peuvent donc acquérir, lorsqu’on fait varier $t$ ou $u,$ que des valeurs comprises entre $1$ et $-1.$ À l’égard des coefficiens qui contiennent le signe intégral, ils sont tous constans ; donc les termes successifs de la valeur de $v$ diminuent très-rapidement, si l’on augmente la valeur de $u.$

En donnant à cette quantité $u$ une certaine valeur $U,$ qu’il est aisé de déterminer, le second terme de la série devient une quantité extrêmement petite, et alors la valeur de $v$ est constante, et demeure ainsi la même pour toutes les profondeurs qui surpassent $U.$ Ainsi l’analyse nous fait connaître que la température des lieux profonds est fixe, et ne participe aucunement aux variations qui ont lieu à la surface.

83. De plus, cette température fondamentale équivaut à ${\frac {1}{t}}\int \phi t.dt,$ $\phi t$ représentant la température variable du point de la surface, l’intégrale étant prise de $t=0$ à $t=\theta .$ Donc la température fixe des lieux profonds est la valeur moyenne de toutes les températures variables observées à la surface. Les observations ont donné depuis long-temps les mêmes résultats ils se présentent aujourd’hui comme des conséquences évidentes de la théorie mathématique de la chaleur.

84. En désignant par $w$ la différence entre la température moyenne et celle des points qui sont placés à une profondeur $u$ peu différente de $U,$ on aura

(E' )

$w=v-{\frac {1}{\theta }}\int \phi t.dt=$

${\begin{aligned}e^{-u{\sqrt {\frac {\pi }{k\theta }}}}\left\{{\begin{aligned}2\cos \left(2{\frac {\pi t}{\theta }}-u{\sqrt {\frac {\pi }{k\theta }}}\right)&{\frac {1}{\theta }}\int \phi t\cos \left(2{\frac {\pi t}{\theta }}\right)dt\\2\sin \left(2{\frac {\pi t}{\theta }}-u{\sqrt {\frac {\pi }{k\theta }}}\right)&{\frac {1}{\theta }}\int \phi t\sin \left(2{\frac {\pi t}{\theta }}\right)dt\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$