les neuf coefficiens
&c. étant encore des quantités indépendantes des angles
&c. En vertu des six équations (9), qui existent entre leurs cosinus, on tirera immédiatement de ces trois dernières équations les valeurs de
et les comparant aux seconds membres des équations (8), on en conclura celles des coefficiens
&c., dont il nous suffira d’écrire les deux premières, savoir :
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=p\cos ^{2}l+q'\cos ^{2}l'+r''\cos ^{2}l''\\&+(p'+q)\cos l\cos l'+(p''+r)\cos l\cos l''+(q''+r')\cos l'\cos l'',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5f96f579661ee941021f885085e03cbcbb29a7)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{8}&Q&&=p&&\cos l&&\cos m&&+q'&&\cos l'&&\cos m'&&+r''\cos l''\cos m''\\&&&+p'&&\cos l&&\cos m'&&+q&&\cos l'&&\cos m\\&&&+p''&&\cos l&&\cos m''&&+r&&\cos l''&&\cos m\\&&&+q''&&\cos l'&&\cos m''&&+r'&&\cos l''&&\cos m'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1843196ca827ece397fa93e41eec21f0ae9c6ae)
Lorsque la sphère
tournera sur elle-même, les angles
&c., varieront, et l’on pourra leur attribuer toutes les valeurs possibles qui satisferont aux équations (9). Or, d’après le numéro précédent, les coefficiens
&c., devront tous rester les mêmes pendant la rotation de
il faudra donc que les angles
&c., disparaissent de leurs valeurs, en ayant toutefois égard aux équations (9) qui les lient entre eux. Cette condition sera remplie, si l’on a
et si les six autres quantités
&c., sont nulles : on aura alors
les six autres coefficiens
&c., seront égaux à zéro, et les valeurs de
se réduiront à
(10)
Je dis de plus que la condition donnée ne peut être remplie que de cette seule manière.
En effet, deux des trois angles
sont arbitraires ; et pour qu’ils disparaissent de la valeur de
il est nécessaire, et il suffit, d’après la première équation (9), qu’on ait