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tement pour la première valeur approchée de $\mu e,$ qui satisfait à l’équation (11),

$e=\mu {\frac {C}{4\pi a}}+{\frac {3}{4\pi }}(\alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\cos u'+\beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\sin u'\sin v'+\gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\sin u'\cos v').$

Pour en obtenir une seconde, nous ajouterons un terme $s$ à cette première valeur ; en retenant ensuite dans l’équation (11) les termes de première dimension par rapport à $s$ et à $t,$ et réduisant, on aura

${\begin{aligned}\iint &\left(Y_{0}+{\frac {r}{a}}Y_{1}+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}Y_{2}+{\frac {r^{3}}{a^{3}}}Y_{3}+\&c.\right)s\sin u'du'dv'\\=&\iint \left(-Y_{0}+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}Y_{2}+{\frac {2r^{3}}{a^{3}}}Y_{3}+{\frac {3r^{4}}{a^{4}}}Y_{4}+\&c.\right)\mu et\sin u'du'dv',\end{aligned}}$

où l’on a conservé, pour abréger, $\mu e$ à la place de sa valeur précédente. Quelle que soit la valeur de $\mu et$ en fonction de $u'$ et $v',$ on peut t’exprimer par une série de cette forme^[1] :

$\mu et=Z'_{0}+Z'_{1}+Z'_{2}+Z'_{3}+$&c.,                                 (12)

dont les termes sont de certaines fonctions des sinus et cosinus de ces deux angles, qui sont telles, que l’on a

$\iint Z'_{i}Y_{i'}\sin u'du'dv'=0,$

quand les indices $i'$ et $i$ sont différens ; et

$\iint Z'_{i}Y_{i}\sin u'du'dv'={\frac {4\pi Z_{i}}{2i+1}},$

quand ils sont égaux : $Z_{i}$ représentant ce que devient $Z'_{i}$ lorsqu’on y remplace $u'$ et $v'$ par $u$ et $v,$ et les intégrales étant prises depuis $u'=0$ et $v'=0,$ jusqu’à $u'=\pi$ et $v'=2\pi .$ De cette manière, le second membre de l’équation précédente deviendra

$4\pi \left(-Z_{0}+{\frac {r^{2}}{5a^{2}}}Z_{2}+{\frac {r^{3}}{7a^{3}}}Z_{3}+\ldots {\frac {(i-1)r^{i}}{(2i+1)a^{i}}}Z_{i}+\&c.\right)\,;$

1. Journal de l’École polytechnique, 19.^e cahier, page 145.