Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/415

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

l’infini. Celle ci reste constante tandis que la première varie avec la position du point $P\,;$ ce sont ces variations qui déterminent la largeur et les intensités relatives des bandes obscures et brillantes.

L’analyse donne l’expression finie des intégrales

\int dz.\cos \left(\pi .{\frac {z^{2}(a+b)}{ab.\lambda }}\right)\quad {\text{et}}\quad \int dz.\sin \left(\pi .{\frac {z^{2}(a+b)}{ab.\lambda }}\right),

prises depuis $z=0$ jusqu’à $z=\infty \,;$ mais on ne peut avoir leur valeur entre d’autres limites que par le moyen des séries ou des intégrations partielles. C’est par ce dernier procédé, qui m’a paru le plus commode, que j’ai calculé la table suivante, en rapprochant assez les limites de chaque intégrale partielle pour pouvoir négliger le carré de la moitié de l’arc qu’elles comprennent^[1]. Cet arc est ici d’un dixième de quadrans ce qui donne dans les résultats une exactitude plus grande que celle à laquelle peuvent atteindre les observations. J’ai substitué pour plus de simplicité, aux intégrales ci-dessus, $\int dv.\cos q.v^{2}$ et $\int dv.\sin q.v^{2},$ $q$ représentant le quadrans ou ${\frac {1}{2}}\pi ,$ vu qu’il est très-facile de passer des unes aux autres.

↑ $i$ et $i+t$ étant les limites très-rapprochées entre lesquelles il faut intégrer $dv.\cos qv^{2}$ et $dv.\sin qv^{2},$ on trouve, pour les formules approximatives qui donnent ces intégrales en négligeant le carré de ${\frac {1}{2}}t,$
${\begin{aligned}\int dv.\cos q.v^{2}=&{\frac {1}{2q(i+t)}}\left[\quad \sin q(i+t)(i+3t)-\sin q(i+t)(i-t)\right],\\\int dv.\sin q.v^{2}=&{\frac {1}{2q(i+t)}}\left[-\cos q(i+t)(i+3t)+\cos q(i+t)(i-t)\right].\end{aligned}}$

Ce sont ces formules que j’ai employées dans le calcul de la table.

Lorsque est assez, petit pour qu’on puisse négliger son carré, au lieu de négliger seulement le carré de sa moitié, on peut se servir, des formules suivantes, qui sont plus simples :

${\begin{aligned}\int dv.\cos q.v^{2}\left({\begin{aligned}v&=i\\v&=i+1\end{aligned}}\right)=&{\frac {1}{2iq}}\left[\quad \sin qi(i+2t)-\sin qi^{2}\right],\\\int dv.\sin q.v^{2}\left({\begin{aligned}v&=i\\v&=i+1\end{aligned}}\right)=&{\frac {1}{2iq}}\left[-\cos qi(i+2t)+\cos qi^{2}\right].\end{aligned}}$

[1] $i$ et $i+t$ étant les limites très-rapprochées entre lesquelles il faut intégrer $dv.\cos qv^{2}$ et $dv.\sin qv^{2},$ on trouve, pour les formules approximatives qui donnent ces intégrales en négligeant le carré de ${\frac {1}{2}}t,$
${\begin{aligned}\int dv.\cos q.v^{2}=&{\frac {1}{2q(i+t)}}\left[\quad \sin q(i+t)(i+3t)-\sin q(i+t)(i-t)\right],\\\int dv.\sin q.v^{2}=&{\frac {1}{2q(i+t)}}\left[-\cos q(i+t)(i+3t)+\cos q(i+t)(i-t)\right].\end{aligned}}$

Ce sont ces formules que j’ai employées dans le calcul de la table.

Lorsque est assez, petit pour qu’on puisse négliger son carré, au lieu de négliger seulement le carré de sa moitié, on peut se servir, des formules suivantes, qui sont plus simples :

${\begin{aligned}\int dv.\cos q.v^{2}\left({\begin{aligned}v&=i\\v&=i+1\end{aligned}}\right)=&{\frac {1}{2iq}}\left[\quad \sin qi(i+2t)-\sin qi^{2}\right],\\\int dv.\sin q.v^{2}\left({\begin{aligned}v&=i\\v&=i+1\end{aligned}}\right)=&{\frac {1}{2iq}}\left[-\cos qi(i+2t)+\cos qi^{2}\right].\end{aligned}}$

[1]