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mesure qu’on s’éloigne de la tangente au bord du corps opaque ; ce qui explique très-bien pourquoi les franges qui bordent les ombres sont beaucoup moins vives et moins nombreuses que les anneaux colorés, ou celles qu’on obtient par la réflexion d’un point lumineux sur deux miroirs légèrement inclinés entre eux.

Pour calculer la largeur des franges extérieures à l’aide de ces nombres, il faut se rappeler que nous avons substitué les intégrales $\int dv.\cos qv^{2}$ et $\int dv.\sin qv^{2}$ aux intégrales du problème $\int dz.\cos \left(2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}\right)$ et $\int dz.\sin \left(2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}\right),$ en faisant $2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}qv^{2}\,;$ d’où on tire $z=v{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2(a+b)}}}\,;$ par conséquent,

${\begin{aligned}\int dz.\cos \left(2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}\right)&={\sqrt {\frac {ab\lambda }{2(a+b)}}}.\int dv.\cos qv^{2},\\{\text{et }}\int dz.\sin \left(2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}\right)&={\sqrt {\frac {ab\lambda }{2(a+b)}}}.\int dv.\sin qv^{2}\,;\end{aligned}}$

ainsi,

$\left[\int dz.\cos \left(2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}\right)\right]^{2}+\left[\int dz.\sin \left(2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}\right)\right]^{2}$

$={\frac {ab\lambda }{2a(a+b)}}\left[\left(\int dv.\cos qv^{2}\right)^{2}+\left(\int dv.\sin qv^{2}\right)^{2}\right]\,;$

or, ${\frac {ab\lambda }{2a(a+b)}}$ étant un facteur constant, il en résulte que les deux quantités

$\left[\int dz.\cos \left(2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}\right)\right]^{2}+\left[\int dz.\sin \left(2q.{\frac {z^{2}(a+b)}{ab\lambda }}\right)\right]^{2}$

et $\left(\int dv.\cos qv^{2}\right)^{2}+\left(\int dv.\sin qv^{2}\right)^{2}$

atteindront en même temps leur maximum ou leur minimum ; et si l’on représente par $n$ la valeur de $v$ qui répond à un maximum ou à un minimum, la valeur correspondante de $z$