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des bateaux descendans on aura plus simplement après avoir divisé par $S,$

$Y=x\left[N+(M-K)\right]-(\mathrm {T''-T'} ).$

Donc la dépense totale du bief supérieur d’une écluse que traverse alternativement, en montant et en descendant, un nombre $k$ de convois de bateaux, sera positive, nulle ou négative, suivant que l’on aura

${\begin{aligned}x&>{\frac {\mathrm {T''-T'} }{N+(M-K)}},\\x&={\frac {\mathrm {T''-T'} }{N+(M-K)}},\\x&<{\frac {\mathrm {T''-T'} }{N+(M-K)}}.\end{aligned}}$

Reprenons la formule générale

$Y=x\left[N+(M-K)\right]-(\mathrm {T''-T'} ),$

et remarquons que le premier terme du second membre s’abaisse au minimum de sa valeur, lorsque $M-K=0,$ c’est-à-dire lorsque le nombre des bateaux descendans est égal au nombre de convois qu’ils forment, ou bien, ce qui est la même chose, lorsqu’ils cheminent un à un.

La formule devient, dans cette première hypothèse,

$Y=N\,x-(\mathrm {T''-T'} ),$

comme nous l’avons déjà trouvé.

Le terme $x\left[N+(M-K)\right]$ de la formule générale s’élève, au contraire, au maximum de sa valeur lorsque $K=1,$ puisqu’il ne peut y avoir moins d’un seul convoi montant ou descendant. On a, dans cette deuxième hypothèse,

$Y=x\left[N+(M-1)\right]-(\mathrm {T''-T'} ),$

équation qui s’applique au cas particulier où tous les bateaux