série obtenue ; désignons par une autre fonction dont le développement se réduise à zéro les deux fonctions
distinctes l’une de l’autre, auront pour développement une même série convergente. Par exemple, les fonctions
ont pour développement commun la série convergente
dont la somme équivaut à une seule d’entre elles.
Il suit de ces remarques qu’à une seule série, même convergente, correspondent une infinité de fonctions différentes les unes des autres. Il n’est donc pas permis de substituer indistinctement les séries aux fonctions et pour être assuré de ne commettre aucune erreur, on doit borner cette substitution au cas où les fonctions, étant développables en séries convergentes sont équivalentes aux sommes de ces séries. Dans toute autre hypothèse les séries ne peuvent être employées avec une entière confiance qu’autant qu’elles se trouvent réduites à un nombre fini de termes, et complétées par des restes dont on connaît les valeurs exactes ou approchées. Ainsi en particulier, lorsqu’on veut déterminer par une méthode rigoureuse les maxima ou minima des fonctions, et les véritables valeurs des fractions qui se présentent sous la forme on emploie la série de Taylor, non pas en la regardant comme composée d’un nombre infini de termes mais en la complétant par un reste dont la valeur demeure comprise entre certaines limites.
Après les considérations que nous venons d’exposer, on ne sera pas surpris de trouver en défaut, dans certains cas,
