Conférences d’Analyse au commencement de l’année scolaire 1881-1882. Quatre ans après, il était chargé du Cours de Mécanique physique et expérimentale ; et enfin, en août 1886, il succédait à notre confrère Lippmann dans la Chaire de Physique mathématique et Calcul des Probabilités. Il devenait titulaire en même temps que nos deux confrères Boussinesq et Émile Picard.
Les travaux qu’il avait accomplis durant cette période justifiaient un avancement si rapide. Ils avaient pour objet la théorie des équations différentielles et aux différences partielles, la théorie générale des fonctions analytiques d’une ou de plusieurs variables, la Mécanique analytique et la Mécanique céleste, l’Algèbre et la Théorie des nombres. Tous contenaient des résultats entièrement neufs, des découvertes analytiques qui faisaient dire à un de nos maîtres : Poincaré commence comme Cauchy.
Nous citerons, en premier lieu, un travail tout à fait original sur les équations différentielles, présenté à l’Académie en 1880 et publié dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées.
Poincaré s’y place à un point de vue tout différent de celui qu’il a adopté dans son premier Mémoire ; il admet que les coefficients de l’équation différentielle sont réels, et il se propose de construire et de discuter la forme générale des courbes réelles qui représentent les diverses solutions de l’équation différentielle. Le problème ainsi étudié est analogue à celui qui se présente en Géométrie analytique lorsqu’on veut reconnaître la forme générale d’une courbe d’après son équation, mais il est incomparablement plus difficile. Poincaré l’a abordé en commençant par examiner le cas où l’équation différentielle est du premier degré, c’est-à-dire où le coefficient différentiel est le quotient de deux polynômes.
